Tensor energii-pędu (zwany też tensorem napięć-energii) – tensor drugiego rzędu. Jest używany na przykład w ogólnej teorii względności, w której wchodzi w skład równań Einsteina i pełni rolę źródła zakrzywienia czasoprzestrzeni odczuwanego jako grawitacja.

Definicja W szczególnej i ogólnej teorii względności przyjmuje się następujące indeksowanie składowych tensora napięć-energii: – indeks czasowy, – indeksy przestrzenne.

Definicja Składowa tensora napięć-energii jest równa składowej strumienia wektora czteropędu przepływającego przez hiperpowierzchnię o stałej współrzędnej w czasoprzestrzeni.

Własność symetrii Tensor napięć-energii w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma wymiary 4×4. Tensor napięć-energii jest w teorii względności symetryczny, tj.

W teoriach alternatywnych, jak np. teoria Einsteina-Cartana tensor napięć-energii może nie być dokładnie symetryczny. W takich teoriach nie obowiązuje np. zasada zachowania spinu, choć obowiązuje zasada zachowania momentu pędu – spin może zamieniać się w orbitalny moment pędu i na odwrót. Przy symetrycznym tensorze napięć-energii spin i orbitalny moment pędu są zachowane.

Przykład Jeżeli mamy strumień cząstek w przestrzeni, to aby obliczyć składową w danym punkcie oblicza się sumę składowych czterowektora pędu cząstek, które przechodzą przez mały element hiperpowierzchni prostopadłej do wektora bazowego odpowiadającego wymiarowi i dzieli przez wielkość tej hiperpowierzchni.

Sens fizyczny składowych tensora napięć-energii Przyjmując standardową konwencję, w której współrzędna czasowa to a współrzędne przestrzenne to poszczególne składowe tensora mają wymiar gęstości energii (np. w układzie SI jest to dżul na metr sześcienny, ) i posiadają następującą interpretację fizyczną:

Składowa określa całkowitą gęstość energii (włączając w to energię spoczynkową masy) w pobliżu danego punktu. Składowe mieszane oraz (gdzie ) są ze sobą równe na mocy symetrii tensora. Reprezentują one -tą składową gęstości pędu pomnożoną przez Z uwagi na równoważność masy i energii, składowe te opisują jednocześnie strumień energii przepływający przez jednostkową powierzchnię, podzielony przez Składowe przestrzenne (gdzie ) tworzą trójwymiarowy klasyczny tensor naprężeń (rozumiany analogicznie jak w mechanice ośrodków ciągłych): składowe diagonalne to naprężenia normalne, co w mechanice płynów odpowiada ciśnieniu, składowe pozadiagonalne ( dla ) to naprężenia ścinające występujące w danym obszarze czasoprzestrzeni.

Postać macierzowa tensora napięć-energii Tensor napięć-energii jest tensorem drugiego rzędu, dlatego jego składowe można przedstawić w postaci macierzy 4×4:

lub też, identyfikując odpowiednie składowe z wielkościami fizycznymi

gdzie: – gęstość energii, – składowe gęstości pędu (pomnożone przez ), – ciśnienia, – naprężenia ścinające.

Przykłady tensora napięć-energii Cząstka izolowana Dla cząstki izolowanej (nie oddziałującej z otoczeniem) o masie m, znajdującej się w położeniu tensor napięć-energii ma postać:

gdzie: – składowe wektora prędkości (nie należy mylić z 4-wektorem prędkości, który dodatkowo zawiera czynnik ), tzn. – delta Diraca, – całkowita energia cząstki.

Wiele cząstek punktowych Dowolny rozkład materii/energii można otrzymać ze zbioru cząstek punktowych.

Dlatego tensor napięć-energii można wyrazić za pomocą sumy tensorów napięć-energii pojedynczych cząstek. Tensor ten dla pojedynczej cząstki ma postać

w położeniu, gdzie cząstka znajduje się aktualnie, zaś zero wszędzie indziej. Tensor ten zmienia się w ogólności w czasie, gdy zmienia się w czasie położenie i prędkość cząstki. Zmienna jest wektorem prędkości, tj. równym pochodnej położenia cząstki względem czasu (nie czasu własnego)

Widać stąd, że wszystkie składowe tensora napięć-energii mają jednakowy wymiar

Aby otrzymać tensor napięć-energii w przypadku zbioru wielu cząstek sumuje się tensory dla cząstek punktowych i dzieli przez objętość, jaką zajmuje zbiór cząstek – w ten sposób składowe tensora będą gęstościami pędu i ciśnienia, średnimi dla dyskretnego zbioru cząstek.

Element jest energią cząstki. Stąd, jeżeli dodamy energie wszystkich cząstek punktowych, to otrzymamy całkowitą energię.

Elementy oznaczają pędy cząstek w kierunki mnożone przez prędkość światła Stąd, jeżeli dodamy te elementy od wszystkich cząstek punktowych, to otrzymamy całkowity pęd w kierunku mnożony przez prędkość światła czyli prędkość w kierunku osi czasu.

Podobnie, niediagonalne elementy dla zbioru cząstek dodane do siebie dają sumę pędów cząstek w kierunku mnożonych przez ich prędkości w kierunku

Elementy diagonalne wyglądają jak energie kinetyczne. W zbiorze cząstek chaotycznie poruszających się, jak np. w gazie, energia kinetyczna związana jest z ciśnieniem, dlatego elementy diagonalne odpowiadają za ciśnienie.

Tensor napięć-energii płynu w równowadze Dla płynu idealnego w równowadze termodynamicznej tensor napięć-energii ma prostą postać

gdzie: – gęstość masy-energii [kg/m³], – ciśnienie hydrostatyczne [Pa], – czteroprędkość płynu, – odwrotny tensor metryczny.

Ślad tego tensora wynosi

a czteroprędkość spełnia równanie

W układzie odniesienia poruszającym się z płynem, zwanym właściwym układem odniesienia, mamy

Odwrotny tensor metryczny ma postać

Tensor napięć-energii jest diagonalny

Elektromagnetyczny tensor napięć-energii Tensor napięć-energii Hilberta dla pozbawionego źródeł pola elektromagnetycznego ma postać:

gdzie – tensor pola elektromagnetycznego.

Pole skalarne Tensor napięć-energii dla pola skalarnego które jest rozwiązaniem równania Kleina-Gordona ma postać

Gdy metryka jest płaska (metryka Minkowskiego), to otrzyma się:

Przybliżenie quasi-klasyczne Uważa się, że najdokładniejszy opis oddziaływanie pola grawitacyjnego z materią da kwantowa teoria grawitacji, traktująca materię i pole grawitacyjne jako układy kwantowe. Nie istnieje jednak jak dotąd kwantowa teoria grawitacji, choć podejmowane są liczne próby jej sformułowania.

Pierwszym podejściem w tym kierunku jest tzw. przybliżenie quasi-klasyczne, które traktuje pole grawitacyjnie w sposób klasyczny, a materię kwantowo, tzn. modyfikuje się równania Einsteina do postaci

czyli: tensor pola grawitacyjnego (tensor Einsteina) pozostaje bez zmian, tensora energii-pędu materii zastępuje się przez średni statystyczne tensor energii-pędu

przy czym średni statystyczna zależy od funkcji falowej określającej stan kwantowy materii.

Tensor energii pędu jest teraz określony przez gęstość energii i ciśnienie układu fizycznego

gdzie jest wektorem jednostkowym jest przestrzennym rozkładem energii, a rozkładem ciśnienia.

Np. w płaskiej przestrzeni Minkowskiego wektor jednostkowy i tensor energii-pędu ma postać macierzową

Aby rozwiązać równania Einsteina musi być podana pełna informacja o układzie fizycznym, dlatego trzeba zadać dodatkowo równanie stanu materii (EOS), określające zależność ciśnienia od gęstości materii

Zobacz też równanie Einsteina

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Rodzaje tensorów Kategoria:Ogólna teoria względności