Wzór Leibniza – wzór pozwalający obliczyć -tą pochodną iloczynu funkcji. Został wprowadzony przez niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza.

Wzór Niech i będą funkcjami różniczkowalnymi i mającymi pochodne aż do rzędu włącznie. Wtedy pochodna -tego rzędu iloczynu wyraża się wzorem:

gdzie to symbol Newtona (współczynnik dwumianowy), a Wzór ten możemy też przedstawić, używając notacji wielowskaźnikowej:

Dowód Wzór

udowodnimy, używając indukcji matematycznej (zupełnej) ze względu na

Dla otrzymujemy:

Teraz udowodnimy ten wzór dla przy założeniu, że jest on spełniony dla

Weźmy teraz dla pierwszego członu

Uogólnienie Istnieje podobny wzór, zachodzący dla funkcji różniczkowalnych i mających pochodne aż do -tego rzędu włącznie. Pochodna -tego rzędu iloczynu wyraża się wzorem:

gdzie

oznacza współczynnik multimianowy. Sumowanie we wzorze odbywa się po wszystkich liczbach naturalnych (łącznie z 0), których suma daje

Dowód Dowód przeprowadzimy poprzez indukcję ze względu na Dla wzór staje się zwykłym wzorem Leibniza :

Zakładamy więc, że wzór zachodzi dla pewnej liczby naturalnej Udowodnimy, że wynika z niego wzór dla funkcji Na początek zapiszmy

Skorzystajmy teraz ze zwykłego wzoru Leibniza dla dwóch funkcji, oraz

(wyrażenie odgrywa rolę wskaźnika i jest dobrane dla zachowania ciągłości oznaczeń w dalszych przekształceniach). Na mocy założenia indukcyjnego, wiemy, czemu równa się ostatni z nawiasów:

Kolejno wstawiając rozpisane wyrażenie z nawiasu i stosując własności sumy, otrzymujemy:

Korzystając z faktu, że dla liczb zachodzi

otrzymujemy

Dla ustalonego ostatnie dwa nawiasy wymnażają się do wspólnej postaci

Dla ustalonego sumowanie w wewnętrznej sumie odbywa się po wszystkich liczbach których suma daje Ale ponieważ robimy tak dla każdego od 0 do to w efekcie sumujemy po wszystkich liczbach których suma daje i wszystkie składniki po prawej stronie można zebrać pod jedną sumę

co kończy dowód indukcyjny.

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 10: Wzór Taylora. Ekstrema, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-23]. Leibniz rule , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

Kategoria:Twierdzenia rachunku różniczkowego Kategoria:Gottfried Wilhelm Leibniz