Przestrzeń sprzężona (także dualna lub dwoista) – przestrzeń wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych określonych na danej przestrzeni unormowanej lub, nieco ogólniej, przestrzeni liniowo-topologicznej. Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni oznacza się często lub Parę nazywa się parą dualną. Współczesna terminologia pochodzi od Bourbakiego. W przeszłości były też używane nazwy: polarer Raum (niem., dosł. przestrzeń polarna/biegunowa) – Hans Hahn, transponierter Raum (niem., dosł. przestrzeń transponowana)/espace conjugué (fr., dosł. przestrzeń dołączona) – Juliusz Schauder, adjoint space (ang., dosł. przestrzeń dołączona) – Leonidas Alaoglu.

W kontekście analizy funkcjonalnej dla odróżnienia od przestrzeni sprzężonej algebraicznie, w której nie zakłada się ciągłości funkcjonałów, mówi się czasami o przestrzeni sprzężonej topologicznie. W skrajnych przypadkach przestrzeń sprzężona algebraicznie może mieć bogatą strukturęKażda przestrzeń liniowa ma bazę (jest to równoważne aksjomatowi wyboru). Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie mówi, że jeśli dana jest ustalona baza przestrzeni oraz jakkolwiek określona na niej funkcja o wartościach skalarnych, to można ją przedłużyć w sposób jednoznaczny do funkcjonału liniowego., podczas gdy sprzężona topologicznie może być trywialna. W klasie przestrzeni skończenie wymiarowych oba pojęcia pokrywają się.

Wyniki ogólnej teorii przestrzeni sprzężonych znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki, np. w równaniach różniczkowych i całkowych, czy teorii aproksymacji. Przykładowo teoria dystrybucji zrodzona z potrzeb fizyki, zbudowana jest w oparciu o funkcjonały liniowe i ciągłe na pewnej przestrzeni liniowo-topologicznej (tzw. przestrzeni funkcji próbnych).

Definicja formalna Niech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych

nazywa się przestrzenią sprzężoną do

Uwagi Przestrzeń sprzężona jest przestrzenią liniową z działaniami określonymi punktowo, to znaczy jeśli zaś jest skalarem, to

dla wszystkich W przypadku, gdy nie zakłada się o nic ponad bycie przestrzenią liniowo-topologiczną, jej przestrzeń sprzężona może być trywialna, tzn. może być złożona tylko z odwzorowania tożsamościowo równego zeru. Przykładem może być przestrzeń dla . Innym przykładem mogą być przestrzenie Hardy’ego dla . Postać przestrzeni sprzężonej do danej przestrzeni liniowo-topologicznej jest ściśle związana z ilością zbiorów wypukłych w samej przestrzeni. Następujące fakty (w tym pewien wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha) wiążą z wypukłymi podzbiorami Funkcjonały Minkowskiego są podliniowe (podaddytywne i dodatnio jednorodne). Funkcjonały zbalansowanych zbiorów Minkowskego są półnormami. Wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha: Jeżeli jest rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią liniową, a półnormą na tej przestrzeni, to dla każdego punktu istnieje taki funkcjonał liniowy na przestrzeni że i dla każdego elementu przestrzeni Zbalansowanym zbiorom wypukłym odpowiadają funkcjonały liniowe. Oznacza to w szczególności, że przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe (a więc i przestrzenie unormowane) mają nietrywialne przestrzenie sprzężone. Zwyczajowo funkcjonały traktuje się jako punkty przestrzeni sprzężonej, co znajduje odzwierciedlenie ich zapisie: analogicznie do pisze się często Dodatkowo, ze względu na ich liniowość, pomija się zwykle nawiasy przy argumentach, zatem zamiast bądź pisze się po prostu lub W dalszej części artykułu stosowane będą oznaczenia „z gwiazdką”.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej W dalszej części artykułu oznaczać będzie nietrywialną przestrzeń unormowaną nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. W przestrzeni można w naturalny sposób wprowadzić normę: jest nią funkcjonał

O ile nie prowadzi to do nieporozumień, normę w przestrzeni często oznacza się tym samym symbolem, co normę w W przeciwnym przypadku przy jej symbolu umieszcza się w indeksie dolnym oznaczenie przestrzeni, w której rozpatrywana jest norma, np. Ciała liczb rzeczywistych i zespolonych z naturalną metryką modułową są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa, przestrzeń jest przestrzenią Banacha (bez względu na to, czy jest nią ). Jeżeli jest przestrzenią ośrodkową, to istnieje taki zbiór przeliczalny zawarty w kuli jednostkowej przestrzeni że dla Jeżeli przestrzeń jest ośrodkowa, to też taka jest. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, mianowicie przestrzenią sprzężoną do (ośrodkowej) przestrzeni jest przestrzeń która nie jest ośrodkowa.

Topologie w przestrzeni sprzężonej Jeśli jest topologią w przestrzeni liniowo-topologicznej to symbolem oznacza się słabą topologię w to znaczy najsłabszą topologię, względem której wszystkie odwzorowania z są ciągłe.

W przestrzeni można rozważać również topologię *-słabą, to znaczy najsłabszą topologię, względem której każde z odwzorowań

postaci

jest ciągłe. z topologią *-słabą jest przestrzenią lokalnie wypukłą.

Podsumowując, jeżeli jest przestrzenią unormowaną, to w przestrzeni można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie: mocną topologię czyli topologię wyznaczoną przez normę w słabą topologię *-słabą topologię

Zachodzi między nimi następujący związek:

przy czym

wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią refleksywną (czyli gdy jest przestrzenią refleksywną). Równość ta jest konsekwencją jednego z fundamentalnych twierdzeń analizy funkcjonalnej – tzw. twierdzenia Banacha-Alaoglu. Równość topologii *-słabej i mocnej zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa. Niech będzie przestrzenią Banacha. Podzbiór przestrzeni jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo ograniczony. Jeśli jest przestrzenią Banacha, to *-słabo zwarte podzbiory są ograniczone. Jeśli jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każdy niepusty *-słabo otwarty podzbiór jest nieograniczony. Co więcej, każde *-słabe (otwarte) otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową. Topologia *-słaba jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.

Ograniczona topologia *-słaba Istnieje jeszcze jeden, w pewien sposób naturalny, rodzaj topologii wprowadzanej w przestrzeni – tzw. ograniczona topologia *-słaba zdefiniowana w roku 1950 przez Jeana DieudonnéJ. Dieudonne: Natural Homomorphisms in Banach Space. Proc. of the. Amer. Math. Soc., vol. 1. No. 1 (1950)..

Niech dla każdego oraz dla każdego ciągu punktów przestrzeni zbieżnego (w normie) do zera będzie dany zbiór

Rodzina zbiorów tej postaci tworzy bazę pewnej topologii w przestrzeni którą nazywa się ograniczoną topologią *-słabą. Przestrzeń z tą topologią jest przestrzenią lokalnie wypukłą. Jeżeli symbol oznaczać będzie ograniczoną topologię *-słabą, to między wspomnianymi wcześniej topologiami zachodzi następujący związek:

Ograniczona topologia *-słaba oraz topologia *-słaba pokrywają się (w sensie topologii podprzestrzeni) na ograniczonych podzbiorach Własność ta uzasadnia nazwę tego pojęcia. Natychmiastowym wnioskiem z tej obserwacji jest fakt, iż jeśli jest ograniczonym ciągiem punktów to jest on zbieżny w sensie ograniczonej topologii *-słabej do pewnego punktu tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo zbieżny do

Mimo iż z topologią normy jest przestrzenią Banacha, to jednak poniższe twierdzenie dość dobrze ilustruje związek zupełności przestrzeni z topologią *-słabą jej przestrzeni sprzężonej: Jeśli jest przestrzenią Banacha, to topologie: *-słaba i ograniczona *-słaba pokrywają się, to znaczy

Prawdziwe, jest też twierdzenie odwrotne, które można sformułować nieco inaczej: Jeśli jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha, to

Twierdzenie Krejna-Szmuljana

Przy okazji omawiania (ograniczonej) *-słabej topologii w przestrzeni sprzężonej wartym odnotowania jest twierdzenie Krejna-Szmuljana (nazywane czasem twierdzeniem Banacha-Krejna-Szmuljana) udowodnione w 1940 przez Marka Krejna i Witolda Lwowicza Šmuliana.

Niech będzie przestrzenią Banacha oraz będzie kulą jednostkową w Jeśli jest wypukłym podzbiorem to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbiór

jest *-słabo domknięty.

Druga przestrzeń sprzeżona

Niech będzie przestrzenią unormowaną. Przestrzeń jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy jest przestrzenią zupełną czy nie (zob. twierdzenie Banacha-Steinhausa), więc jako taka ma swoją przestrzeń sprzeżoną (analogicznie definiuje się trzecią przestrzeń sprzężoną czy -tą ). Jeżeli i oznaczają domknięte kule jednostkowe przestrzeni, odpowiednio, i to

przy czym druga z powyższych równości zachodzi na mocy twierdzenia o wydobywaniu normy (wniosku z twierdzenia Hahna-Banacha). Istnieje kanoniczne włożenie

dane wzorem

Izometryczność zanurzenia kanonicznego Dla wszystkich funkcjonałów z i wszystkich elementów z przestrzeni zachodzi nierówność

więc odwzorowanie κX jest izometrią, gdyż dla każdego elementu przestrzeni spełniona jest równość:

Odwzorowanie κX nie musi być suriektywne. Przestrzenie Banacha dla których κX jest suriekcją nazywane są przestrzeniami refleksywnymi. Klasyczne twierdzenie Goldstine’aHerman Goldstine: Weakly complete Banach spaces, Duke Math. J. 4 (1938), s. 125–131. mówi, że obraz kuli jednostkowej poprzez odwzorowanie κX jest gęstym podzbiorem kuli jednostkowej w w tzw. -topologii, tzn. topologii *-słabej w przestrzeni

Przestrzenie Banacha o wspólnej przestrzeni sprzężonej Niezomorficzne przestrzenie Banacha mogą mieć izomorficzne (a nawet izometryczne) przestrzenie sprzężone. Dla przykładu, dla każdej pary różnych liczb porządkowych przestrzenie Banacha funkcji ciągłych

nie są izomorficzne (gdyż, na przykład, mają różny indeks Szlenka, który jest niezmiennikiem izomorficznym), jednak ich przestrzeń sprzężona jest izometryczna z przestrzenią ℓ1. Istnieją dziedzicznie nierozkładalne przestrzenie Banacha o przestrzeni sprzężonej izometrycznej z ℓ1S.A. Argyros, R.G. Haydon, A hereditarily indecomposable -space that solves the scalar-plus-compact problem. Acta Mathematica 206 (2011), 1–54..

Istnieją także pary przestrzeni Banacha, w których jedna jest ośrodkowa, a druga nieośrodkowa (nawet o gęstości continuum), których przestrzenie sprzężone są izometrycznie izomorficzne. Na przykład:

gdzie oznacza przestrzeń skonstruowaną przez R.C. JamesaR.C. James, A separable somewhat reflexive Banach space with nonsepa-rable dual, Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), s. 738–743..

Reprezentacje elementów W przypadku wielu konkretnych przestrzeni, takich jak: wszystkie przestrzenie Hilberta, przestrzeń funkcji ciągłych znikających w nieskończoności, przestrzenie ciągów ograniczonych i ciągów zbieżnych do zera, przestrzenie Lp, przestrzenie Sobolewa można opisać postać elementów ich przestrzeni sprzężonych i dokonać pewnych wygodnych utożsamień. Wiele z twierdzeń reprezentacyjnych tego typu nosi nazwisko Frigyesa Riesza.

Przestrzenie Hilberta

Niech będzie przestrzenią Hilberta. Dla każdego istnieje taki element że dla każdego Wynika stąd, że każda rzeczywista/zespolona przestrzeń Hilberta jest liniowo/antyliniowo izometrycznie izomorficzna z Wynik ten ma zasadnicze znaczenie dla teorii przestrzeni Hilberta, a także znajduje zastosowanie, na przykład w mechanice kwantowej.

Przestrzenie funkcji ciągłych Istnieje wiele wariantów twierdzenia Riesza związanych z reprezentacją funkcjonałów liniowych i ciągłych na przestrzeniach funkcji ciągłych. Jednym z ogólniejszych przypadków jest twierdzenie reprezentacyjne dla przestrzeni funkcji ciągłych znikających w nieskończoności. Mówi się, że funkcja

gdzie jest przestrzenią lokalnie zwartą, znika w nieskończoności, gdy dla dowolnego istnieje taki zbiór zwarty że dla

Przestrzeń funkcji ciągłych na przestrzeni lokalnie zwartej znikających w nieskończoności tworzy przestrzeń Banacha, którą oznacza się symbolem