Własność Radona-Nikodýma – własność przestrzeni Banacha, która pozwala na rozszerzenie klasycznego twierdzenia Radona-Nikodýma na miary wektorowe o wartościach w danej przestrzeni. Klasa przestrzeni Banacha mających własność Radona-Nikodýma pozwala na przeniesienie klasycznych twierdzeń dotyczących różniczkowania (jak, na przykład, twierdzenie Rademachera) na funkcje o wartościach wektorowych.

Definicja Niech będzie przestrzenią Banacha. Przestrzeń ma własność Radona-Nikodýma względem przestrzeni z miarą ( ), gdy dla każdej miary wektorowej o ograniczonym wahaniu, która jest bezwzględnie ciągła względem istnieje taka funkcja

całkowalna w sensie Bochnera (nazywana pochodną Radona-Nikodýma miary ), że

dla każdego -mierzalnego zbioru Przestrzeń Banacha ma własność Radona-Nikodýma, gdy ma własność Radona-Nikodýma względem każdej przestrzeni z miarą probabilistyczną.

Własność Radona-Nikodýma przestrzeni ℓ1 Niech ( ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech będzie miarą wektorową o wartościach w przestrzeni ℓ1, która jest bezwzględnie ciągła względem tj. dla wszelkich zbiorów -mierzalnych zachodzi warunek

Ponieważ elementami przestrzeni ℓ1 są ciągi, można zapisać

Każda z miar skalarnych jest bezwzględnie ciągła względem więc w przypadku każdej z nich stosuje się twierdzenie Radona-Nikodýma, tj. istnieją funkcje całkowalne

o tej własności, że

Funkcja

przyjmuje wartości w ℓ1 dla prawie wszystkich oraz jest pochodną Radona-Nikodýma

Charakteryzacja przez funkcje lipschitzowskie Niech będzie przestrzenią Banacha. Wówczas ma ona własność Radona-Nikodýma wtedy i tylko wtedy, gdy każda funkcja lipschitzowska

jest różniczkowalna prawie wszędzie.

nie ma własności Radona-Nikodýma Używając powyższej charakteryzacji można wykazać, że przestrzeń nie ma własności Radona-Nikodýma. Istotnie, funkcja

dana wzorem

spełnia warunek Lipschitza, ponieważ jest izometrią. Dla

wyrażenie

ma normę 1, a więc nie jest zbieżne do 0 przy żadnym ustalonym oraz .

Twierdzenie Lindenstraussa Joram Lindenstrauss udowodnił, że każdy niepusty, domknięty i wypukły podzbiór przestrzeni mającej własność Radona-Nikodýma ma punkt ekstremalny.

Przykłady Wszystkie wymienione niżej klasy przestrzeni Banacha mają własność Radona-Nikodýma: przestrzenie refleksywne, przestrzenie ośrodkowe będące przestrzeniami sprzężonymi; ogólniej, podprzestrzenie przestrzeni WCG będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni, przestrzenie lokalnie jednostajnie wypukłe będące przestrzeniami sprzężonymi, przestrzenie słabo lokalnie jednostajnie wypukłe będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni, przestrzenie sprzężone przestrzeni, w których norma jest funkcją różniczkowalną w sensie Frécheta, przestrzeń gdzie jest dowolnym zbiorem, przestrzenie Hardy’ego, przestrzeń szeregów bezwarunkowo zbieżnych w dla przestrzeni mających własność Radona-Nikodýma, przestrzeń gdy ma własność Radona-Nikodýma.

Wymienione niżej przestrzenie nie mają własności Radona-Nikodýma: przestrzenie przestrzenie operatorów zwartych i przestrzenie operatorów liniowych i ciągłych na gdy lub

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Miary wektorowe Kategoria:Przestrzenie Banacha