thumb|Ilustracja wektora Zwrot wektora – jedna z podstawowych własności charakteryzujących wektor, obok jego kierunku, długości i (dla wektora zaczepionego) punktu zaczepienia.
Pojęcie zgodności zwrotu wektorów określa się wśród wektorów o tym samym kierunku. Zwrot jest w zasadzie synonimem strony – dwa wektory o tym samym zwrocie (o zgodnym zwrocie) są skierowane w tę samą stronę, o zwrotach przeciwnych są skierowane w przeciwne strony.
Dla dwóch wektorów o różnych kierunkach lub gdy którykolwiek z nich jest wektorem zerowym, nie można porównać ich zwrotów.
Zmiana znaku współrzędnych wektora swobodnego lub zamiana początku i końca wektora zaczepionego zmienia zwrot wektora na przeciwny.
Definicje formalne Wprowadza się relację równoważności w zbiorze niezerowych wektorów zwaną relacją zgodności zwrotów:
Dla wektorów zaczepionych Dwa niezerowe wektory zaczepione są w relacji gdy po przesunięciu jednego z nich tak, aby ich początki się pokrywały, ich końce będą leżeć na pewnej półprostej o początku identycznym z początkiem obu wektorówDavid A. Santos, Multivariable and Vector Calculus , definicja 5..
Dla wektorów swobodnych i ogólniej – dla wektorów przestrzeni liniowej na ciałem Dwa wektory mają ten sam zwrot, jeśli dla pewnego
W obu przypadkach jest relacją równoważności.Zwrot wektora zaczepionego jest to ta z jej klas abstrakcji, której reprezentantem jest dany wektor, zwrot wektora swobodnego jest to zwrot jego dowolnego zaczepionego odpowiednika.
O dwóch wektorach należących do tej samej klasy abstrakcji względem relacji mówi się, że mają zgodne (identyczne, te same) zwroty. Wyznaczają one ten sam kierunek.
Wśród wektorów o tym samym kierunku relacja wyznacza dokładnie dwie klasy abstrakcji. O dwóch wektorach wyznaczających ten sam kierunek, ale nie należących do tej samej klasy abstrakcji względem relacji mówi się, że mają przeciwne zwroty.
Związek z kątem między wektorami Dwa niezerowe wektory o tym samym kierunku (równoległe, czyli w szczególności także leżące na jednej prostej): mają zgodne zwroty gdy kąt między wektorami wynosi 0°; mają zwroty przeciwne gdy kąt między wektorami wynosi 180°.
Związek z iloczynem skalarnym Niezerowe wektory o tym samym kierunku: mają zgodne zwroty, gdy iloczyn skalarny wektorów jest dodatni; mają przeciwne zwroty, gdy jest ujemny.
Ponieważ iloczyn skalarny można zdefiniować bez powoływania się na pojęcie zwrotu wektora, więc można relację dla wektorów swobodnych o tym samym kierunku zdefiniować następująco: dwa wektory o tym samym kierunku mają ten sam zwrot, gdy ich iloczyn skalarny jest dodatni. Można też definicji zgodności zwrotu nie zawężać do wektorów o tym samym kierunku: dwa dowolne wektory swobodne mają ten sam kierunek i zwrot, gdy ich iloczyn skalarny jest równy iloczynowi ich długości.
Przykłady zastosowań Przykłady w fizyce: zwrot wektora prędkości ciała, gdy porusza się ono z punktu A do punktu B, jest zgodny ze zwrotem wektora (czyli wektora przemieszczenia). zwrot wektorów sił grawitacji, a także dowolnych innych sił przyciągających dwa ciała A,B: zwrot wektora siły działającej na ciało A jest zgodny ze zwrotem wektora zwrot wektora siły działającej na ciało B jest zgodny ze zwrotem wektora
Przykład w matematyce: wektor wskazujący kierunek i zwrot najszybszego wzrostu jakiejś wartości skalarnej w danym punkcie. Długość wektora jest proporcjonalna do szybkości zmiany wartości skalarnej. Zbiór takich wektorów tworzy pole wektorowe zwane gradientem. Wektor o przeciwnym zwrocie do wektora gradientu nazywa się często antygradientem.
Przypisy
Kategoria:Wektory