Pierścień endomorfizmów – pierścień skojarzony z pewnym rodzajem obiektów, który zawiera pewną informację o jego własnościach wewnętrznych.
Grupy abelowe Niech będzie grupą abelową. Zgodnie z nazwą, elementami pierścienia endomorfizmów grupy są endomorfizmy określone na , tzn. homomorfizmy grupowe . Każde dwa takie endomorfizmy oraz mogą być dodawane (zgodnie z wzorem ), a ich wynik, , również jest endomorfizmem . Co więcej, i mogą być składane, dając tym samym endomorfizm . Zbiór wszystkich endomorfizmów wraz ze wspomnianym dodawaniem i mnożeniem (danym jako składanie) spełnia aksjomaty pierścienia; jego jedynką jest przekształcenie tożsamościowe na . Pierścienie endomorfizmów zwykle nie są przemienne. Uwaga Powyższa konstrukcja nie działa dla grup nieabelowych: suma dwóch homomorfizmów nie musi być wówczas homomorfizmemDavid Dummitt i Richard Foote, Algebra, s. 347.
Moduły i przestrzenie liniowe Definicja pierścienia endomorfizmów wygląda identycznie dla dowolnego modułu – zamiast homomorfizmów grupowych należy jedynie wykorzystać homomorfizmy modułów. Każdy pierścień jest pierścieniem endomorfizmów pewnego modułu (regularnegoModuł jest regularny, jeżeli dla skończenie generowanego podmodułu istnieje homomorfizm taki, że , jest projektywny i ., ang. regular). Odwrotnie, -moduł ozn. jest niczym innym, jak homomorfizmem pierścienia w pierścień endomorfizmów grupy addytywnej .
Jeżeli jest przestrzeń liniową nad ciałem , to pierścień endomorfizmów (składający się ze wszystkich -przekształceń liniowych ) utożsamia się w naturalny sposób z pierścieniem macierzy typu o elementach z Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994. s. 23–24. (zob. macierz).
Teoria kategorii W ogólności pierścienie endomorfizmów można definiować dla obiektów dowolnej kategorii preaddytywnej. Warto wspomnieć, że możliwe jest zdefiniowanie w naturalny sposób funktora z kategorii grup abelowych w kategorię pierścieni za pomocą pojęcia pierścienia endomorfizmów.
Własności Pierścień endomorfizmów grupy abelowej jest trywialny wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniana grupa jest trywialna. Często możliwe jest wyrażenie własności obiektów za pomocą własności jego pierścienia endomorfizmów, np.: jeżeli moduł jest prosty, to jego pierścień endomorfizmów jest pierścieniem z dzieleniem (wynik znany jako lemat Schura)Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 31.; moduł jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień endomorfizmów nie zawiera żadnych nietrywialnych idempotentówYu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 25.. Nierozkładalność i silna nierozkładalność są częstokroć definiowane za pomocą odpowiednich własności skojarzonego z nimi pierścienia endomorfizmów.
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. Endomorphism ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].
Kategoria:Rodzaje pierścieni Kategoria:Endomorfizmy liniowe Kategoria:Teoria grup abelowych Kategoria:Teoria modułów Kategoria:Teoria kategorii