Holomorficzność nieskończeniewymiarowa – dział analizy funkcjonalnej, gałęzi matematyki badający uogólnienia funkcji holomorficznych na funkcje określone na zespolonych przestrzeniach Banacha (lub ogólniej: przestrzeniach Frécheta), najczęściej nieskończonego wymiaru, i przyjmujące w nich wartości. Można uważać ją za część nieliniowej analizy funkcjonalnej.

Funkcje holomorficzne o wartościach wektorowych na płaszczyźnie zespolonej Pierwszym krokiem w rozszerzaniu teorii funkcji holomorficznych na więcej niż jeden wymiar zespolony jest rozważanie tzw. funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych, które nadal są określone na płaszczyźnie zespolonej lecz przyjmują wartości w przestrzeniach Banacha. Tego rodzaju funkcje są istotne na przykład podczas budowania holomorficznej analizy funkcjonalnej (ang. holomorphic functional calculus) dla ograniczonych operatorów liniowych.

Funkcję określoną na podzbiorze otwartym płaszczyzny zespolonej o wartościach w zespolonej przestrzeni Banacha nazywa się holomorficzną, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym, tzn. dla każdego punktu istnieje granica

Całkę krzywoliniową funkcji holomorficznej o wartościach wektorowych wzdłuż krzywej prostowalnej można zdefiniować w dokładnie ten sam sposób, co dla funkcji holomorficznych o wartościach zespolonych – jako granicę sum postaci

gdzie jest podziałem przedziału przy długościach podziałów dążących do zera.

Sprawdza się, że twierdzenie podstawowe Cauchy’ego zachodzi również dla funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych. Istotnie, jeżeli jest taką funkcją i jest ograniczonym operatorem liniowym, to można wykazać, iż

Więcej, złożenie funkcji jest funkcją holomorficzną o wartościach zespolonych, stąd dla krzywej zwykłej zamkniętej, której wnętrze zawiera się w całka po prawej stronie jest równa zeru z klasycznego twierdzenia podstawowego Cauchy’ego. Zatem, ponieważ jest dowolny, to z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że

co kończy dowód twierdzenia podstawowego Cauchy’ego w przypadku funkcji o wartościach wektorowych.

Za pomocą tego silnego narzędzia można dowieść wzoru całkowego Cauchy’ego oraz tego, tak jak w przypadku klasycznym, że każda funkcja holomorficzna o wartościach wektorowych jest analityczna.

Użytecznym kryterium na holomorficzność funkcji jest, że jest funkcją holomorficzną o wartościach wektorowych dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego Taka funkcja jest słabo holomorficzna. Można wykazać, że funkcja określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej o wartościach w przestrzeni Frécheta jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy jest słabo holomorficzna.

Funkcje holomorficzne między przestrzeniami Banacha Ogólniej, dla danych dwóch przestrzeni Banacha i nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego w funkcję nazywa się holomorficzną, jeżeli w każdym punkcie istnieje pochodna Frécheta funkcji W tym ogólniejszym kontekście również można pokazać, że funkcja holomorficzna także jest analityczna, tzn. może być lokalnie rozwinięta w szereg potęgowy. Nie jest jednak już prawdą, że jeżeli funkcja jest określona i holomorficzna w pewnej kuli, to szereg potęgowy wokół środka tej kuli jest zbieżny w całej kuli; np. istnieją funkcje holomorficzne określone na całej przestrzeni o skończonym promieniu zbieżnościLawrence A. Harris, Twierdzenie o punkcie stałym dla nieskończeniewymiarowych funkcji holomorficznych..

Funkcje holomorficzne między przestrzeniami liniowo-topologicznymi W pełnej ogólności, dla danych dwóch przestrzeni liniowo-topologicznych i nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego w istnieje wiele sposobów definiowania holomorficzności funkcji W przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego, gdy oraz są nieskończonego wymiaru, własności funkcji holomorficznych mogą zależeć od wybranej definicji. Aby ograniczyć liczbę rozważanych przypadków omówiona zostanie holomorficzność w przypadku, gdy i są lokalnie wypukłe.

Sekcja ta przedstawia listę definicji pojęcia od najsłabszego do najsilniejszego. Kończy się ona dyskusją na temat niektórych twierdzeń wiążących wspomniane definicje, gdy przestrzenie i spełniają pewne dodatkowe warunki.

Holomorficzność w sensie Gâteaux Holomorficzność Gâteaux jest bezpośrednim uogólnieniem słabej holomorficzności na w pełni nieskończeniewymiarowy przypadek.

Niech i będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi lokalnie wypukłymi, a będzie zbiorem otwartym. Funkcja jest holomorficzna w sensie Gâteaux, jeżeli dla dowolnych oraz i każdego ciągłego funkcjonału liniowego określonego na funkcja

jest funkcją holomorficzną zmiennej w otoczeniu Zbiór funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux oznacza się symbolem

W analizie funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux wszystkie własności skończeniewymiarowych funkcji holomorficznych są spełnione na podprzestrzeniach skończonego wymiaru. Jednak, tak jak w zwykłej analizie funkcjonalnej, własności te mogą nie składać się w sposób jednorodny w całość, by dać jakiekolwiek odpowiadające im własności tych funkcji na pełnych zbiorach otwartych.

Przykłady Jeżeli jest określona na to ma ona pochodne Gâteaux wszystkich rzędów, ponieważ dla oraz pochodna Gâteaux -tego rzędu zawiera wyłącznie iterowane pochodne kierunkowe w kierunkach otoczki która jest przestrzenią skończenie wymiarową. W tym przypadku iterowane pochodne Gâteaux są wieloliniowe względem ale w ogólności nie są one liniowe, gdy rozważa się je jako określone na całej przestrzeni

Więcej, obowiązuje wersja twierdzenia Taylora:

Symbol oznacza wielomian jednorodny stopnia zmiennej związanej z operatorem wieloliniowym Zbieżność tego szeregu nie jest jednostajna: jeżeli jest ustaloną podprzestrzenią skończonego wymiaru, to szereg zbiega jednostajnie na dowolnie małych otoczeniach jednak jeżeli może być zmienna, to nie ma zbieżności – nie będzie jej w ogólności, o ile zezwoli się na tę zależność. Stoi to w całkowitej sprzeczności z przypadkiem skończeniewymiarowym.

dla funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux zachodzi twierdzenie Hartoga w następującym sensie: Jeżeli jest funkcją, która jest holomorficzna w sensie Gâteaux oddzielnie ze względu na każdy z jej argumentów, to wtedy jest holomorficzna w sensie Gâteaux na przestrzeni produktowej.

Hipoanalityczność Funkcja jest hipoanalityczna (ang. hypoanalytic), jeżeli oraz jest ciągła na warunkowo zwartych podzbiorach

Holomorficzność Funkcja jest holomorficzna, jeżeli dla każdego rozwinięcie w szereg Taylora

(którego istnienie wynika już z holomorficzności w sensie Gâteaux) jest zbieżne i ciągłe względem w otoczeniu Holomorficzność łączy więc pojęcia słabej holomorficzności ze zbieżnością rozwinięcia w szereg potęgowy. Zbiór funkcji holomorficznych oznacza się symbolem

Holomorficzność lokalnie ograniczona O funkcji mówi się, że jest lokalnie ograniczona, jeżeli każdy punkt ma otoczenie, którego obraz względem jest ograniczony w Jeżeli jest dodatkowo holomorficzna w sensie Gâteaux na to jest lokalnie ograniczenie holomorficzna (ang. locally bounded holomorphic), co oznacza się

Przypisy

Bibliografia Richard V. Kadison, John R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. 1: Elementary theory. American Mathematical Society, 1997. . (zob. rozdział 3.3.) Soo Bong Chae, Holomorphy and Calculus in Normed Spaces, Marcel Dekker, 1985. .

Kategoria:Przestrzenie Banacha