Przestrzeń Eberleina (albo kompakt Eberleina) – zwarta przestrzeń topologiczna, która jest homeomorficzna ze słabo zwartym podzbiorem pewnej przestrzeni Banacha. Ernest Michael i Mary Ellen Rudin udowodniliE. Michael, M.E. Rudin, Another note on Eberlein compacts, Pacific Journal of Mathematics. 72, 2 (1977), ss. 497-499, że każda przestrzeń zwarta, którą można przedstawić jako sumę jej dwóch metryzowalnych podprzestrzeni jest przestrzenią Eberleina. Przestrzeń zwarta X jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podzbiór zwarty Y przestrzeni Cp(X), który rozdziela punkty (jako rodzina funkcji).
Własności Każda przestrzeń Eberleina zawiera gęstą podprzestrzeń metryzowalną. Liczba Suslina przestrzeni Eberleina jest równa jej wadze. Nie istnieje ograniczenie górne dla mocy przestrzeni Eberleina - dla każdej liczby kardynalnej κ kula domknięta przestrzeni Hilberta ℓ2(κ) ze słabą topologią jest przestrzenią Eberleina. Produkt przeliczalnie wielu przestrzeni Eberleina jest przestrzenią Eberleina. Domknięta podprzestrzeń przestrzeni Eberleina jest przestrzenią Eberleina. Obraz poprzez funkcję ciągła przestrzeni Eberleina jest przestrzenią Eberleina (w klasie przestrzeni Hausdorffa)Y. Benyamini, M.E. Rudin, M. Wage, Continuous images of weakly compact subsets of Banach spaces, Pacific J. Math. 70 (1977), ss. 309–324. Liniowo uporządkowane przestrzenie Eberleina są metryzowalneH.R. Bennett, D.J. Lutzer, J.M. van Wouwe, Linearly ordered Eberlein compact spaces, Topology and its Applications, 12, Issue 1, (1981), 11–18. Każda przestrzeń metryzowalna jest homeomorficzna z podprzestrzenią pewnej przestrzeni Eberleina. Każda przestrzeń Eberleina jest dziedzicznie σ-metazwartaN. Yakovlev, On bicompacta in Σ-products and related spaces, Comment. Math. Univ. Carolin. 21, 2 (1980), ss. 263-283. Istvan Juhász, Zoltán Szentmiklóssy i Andrzej Szymański udowodnili, że własność ta charakteryzuje przestrzenie Eberleina w klasie przestrzeni o skończonym indeksie metryzowalnościI. Juhász, Z. Szentmiklóssy, A. Szymański, Eberlein spaces of finite metrizability number, Comment. Math. Univ.Carolin. 48, 2 (2007) ss. 291-301, to znaczy przestrzeni, które można przedstawić w postaci sumy skończenie wielu swoich podprzestrzeni metryzowalnych. Przestrzeń zwarta Hausdorffa K jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń Banacha C(K) jest typu WCG, tj. zawiera liniowo gęsty zbiór słabo zwartyJ. Lindenstrauss, Weakly compact sets-their topological properties and the Banach spaces they generate, Ann. Math. Stud., Vol. 69, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ (1972), 235-273.. Jeżeli K jest przestrzenią Eberleina to przestrzeń Banacha C(K) jest przestrzenią Lindelöfa w słabej topologii. Pol wykazał, że przeciwna implikacja nie zachodziR. Pol, A function space C(X) which is weakly Lindelöf but not weakly compactly generated, Studia Math. 64 (1979), 279-285., rozwiązując tym problem CorsonaH. Corson, The weak topology of a Banach space, Trans. Amer. Math. Soc., 101 (1961), 1-15..
Przykłady Każda zwarta przestrzeń metryzowalna jest przestrzenią Eberleina. Uzwarcenie Aleksandrowa (jednopunktowe) przestrzeni dyskretnej jest przestrzenią Eberleina. Podwojony okrąg Aleksandrowa jest przestrzenią Eberleina. Kostka Hilberta [0,1]ω i kostka Cantora {0,1}ω są przestrzeniami Eberleina. Kostki [0,1]κ i {0,1}κ dla κ > ω nie są przestrzeniami Eberlaina ponieważ ich liczby Suslina są nieprzeliczalne. Kula domknięta przestrzeni refleksywnej ze słabą topologią jest przestrzenią Eberleina. Liczba porządkowa ω1 = [0, ω1] z topologią porządkową nie jest przestrzenią Eberleina. Każda rozproszona przestrzeń Corsona jest przestrzenią EberleinaK. Alster, Some remarks on Eberlein compacts, Fund. Math. 104 (1979), 43-46..
Przypisy
Bibliografia A.V. Arhangel'ski, Eberlein Compacta, In: K.P. Hart, Jun-iti Nagata, and J.E. Vaughan, Encyclopedia of General Topology, Elsevier Science (August 16, 2004),
Linki zewnętrzne Eberlein compactum , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-16].
Kategoria:Przestrzenie Banacha Kategoria:Własności przestrzeni topologicznych