thumb|2-grupa Prüfera
Grupa Prüfera, p-grupa Prüfera a. grupa p-quasicykliczna – dla ustalonej liczy pierwszej p, wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu) grupa torsyjna, w której każdy niezerowy element ma p pierwiastków p-tego stopnia. Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska niemieckiego matematyka Heinza Prüfera.
p-grupa Prüfera może być reprezentowana jako podgrupa grupy okręgu jednostkowego jako zbiór wszystkich możliwych pierwiastków z jedynki stopnia przy przebiegającym wszystkie nieujemne liczby całkowite:
Z drugiej strony p-grupę Prüfera można postrzegać jako p-podgrupę Sylowa grupy składającą się ze wszystkich elementów rzędu wyrażającego się jako potęga
Istnieje następująca prezentacja p-grupy Prüfera (w zapisie addytywnym):
p-grupa Prüfera jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) nieskończoną p-grupą, która jest grupą lokalnie cykliczna (dowolny podzbiór skończony grupy generuje grupę cykliczną). Innymi słowy p-grupa jest p-grupą Prüfera wtedy i tylko wtedy, gdy jej każda podgrupa właściwa jest cykliczna oraz dla każdej liczby naturalnej istnieje w niej podgrupa rzędu
p-grupa Prüfera jest podzielna.
p-grupy Prüfera, dla wszystkich liczb pierwszych p, są jedynymi grupami nieskończonymi, których podgrupy są liniowo uporządkowane przez inkluzję. Ponieważ p-grupy Prüfera nie zawierają podgrup maksymalnych, to są one swoimi własnymi podgrupami Frattiniego. Poniższy ciąg zawierań przedstawia p-grupę Prüfera jako granicę prostą swoich podgrup skończonych:
W teorii lokalnie zwartych grup topologicznych p-grupa Prüfera (wyposażona w topologię dyskretną) jest sprzężona w sensie Pontriagina do grupy zwartej p-adycznych liczb całkowitych, odwrotnie: p-grupa Prüfera jest sprzężeniem w sensie Pontryagina grupy p-adycznych liczb całkowitychD.L. Armacost, W.L. Armacost, On p-thetic groups, Pacific J. Math., 41, nr 2 (1972), s. 295–301..
Jako -moduł p-grupa Prüfera jest modułem artinowskim, lecz nie noetherowskim; podobnie jako grupa: jest ona artinowska, ale nie noetherowska (podgrupy grupy abelowej są abelowe i pokrywają się z odpowiednimi podmodułami tej grupy traktowanej jako -moduł). Ten fakt może służyć jako kontrprzykład na to, iż nie każdy moduł artinowski jest zarazem noetherowski (choć każdy pierścień artinowski jest noetherowski).
Zobacz też p-adyczne liczby całkowite, które można zdefiniować jako granicę odwrotną skończonych podgrup p-grup Prüfera diadyczne liczby wymierne, czyli liczby wymierne postaci 2-grupę Prüfera można postrzegać jako diadyczne liczby wymierne modulo 1
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Teoria grup abelowych P