Kryterium Leibniza – kryterium zbieżności szeregów naprzemiennych mówiące, że szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest na moduł nierosnący i zbieżny do jest zbieżny.
Kryterium Jeżeli ciąg liczbowy o wyrazach nieujemnych spełnia następujące warunki:
ciąg jest nierosnący,
to szereg
jest zbieżny.
Dowód Zgodnie z założeniem
Niech
oznacza -tą sumę częściową rozważanego szeregu.
Podciąg ciągu sum częściowych postaci
jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny. Istotnie,
(ciąg ten jest niemalejący) oraz
(ciąg ten jest ograniczony). Niech
Aby zakończyć dowód, trzeba pokazać, że
Rzeczywiście, .
Przykład zastosowania Szereg anharmoniczny
jest zbieżny, jako szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest malejący i zbieżny do . w szeregu Grandiego ciąg wyrazów jest nierosnący, w szeregu ciąg wyrazów jest malejący. W żadnym z tych szeregów ciąg wyrazów nie jest zbieżny do i oba szeregi są rozbieżne w szeregu gdzie ciąg wyrazów jest zbieżny do ale nie jest nierosnący i szereg jest rozbieżny.
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne Piotr Stachura, Szeregi naprzemienne – kryterium Leibniza, kanał Khan Academy na YouTube, 20 czerwca 2016 [dostęp 2024-06-23]. [dostęp 2023-02-09]. Leibniz criterion , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-02-09].
Kategoria:Gottfried Wilhelm Leibniz Leibniza