Przestrzeń czasowa – dowolny domknięty podzbiór liczb rzeczywistych oznaczany Na przestrzeniach czasowych można rozważać równania Δ-różniczkowe, które są unifikacją równań różniczkowych na i równań różnicowych na oraz uogólnieniem na przestrzeniach czasowych.
Funkcje skoku Podstawowymi funkcjami opisującymi przestrzeń są funkcje skoku: funkcja następnika/funkcja skoku przedniego (forward jump operator), funkcja poprzednika/funkcja skoku wstecznego (backward jump operator), funkcja ziarnistości (graininess function).
Klasyfikacja punktów Każdy punkt ma charakteryzację poprzez funkcje skoku. Punkt jest: lewostronnie gęsty (left dense) jeżeli prawostronnie gęsty (right dense) jeżeli lewostronnie izolowany (left scattered) jeżeli prawostronnie izolowany (right scattered) jeżeli gęsty (dense) jeżeli jest jednocześnie lewo- i prawostronnie gęsty, izolowany (isolated) jeżeli jednocześnie lewo- i prawostronnie izolowany.
Δ-pochodna Rozpatrzmy funkcję:
(R można również zastąpić dowolną przestrzenią Banacha).
Δ-pochodną funkcji w punkcie t nazwiemy liczbę o własności:
jeżeli i funkcja jest ciągła w to: jeżeli (i ciągła w ), to:
Jeśli i są różniczkowalne w punkcie to:
jeżeli dodatkowo to:
Całkowanie Rozpatrzmy funkcję:
Funkcją pierwotną funkcji nazwiemy funkcję taką, że
Funkcję nazwiemy pg-ciągłą, jeżeli jest ciągła w punktach prawostronnie gęstych i istnieje skończona lewostronna granica w punktach lewostronnie gęstych.
Twierdzenie
Dla każdej funkcji pg-ciągłej istnieje jej funkcja pierwotna, na dodatek wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do stałej.
Powyższe twierdzenie pozwala na zdefiniowanie całki dla funkcji pg-ciągłych:
Własności całki:
Podstawowe przykłady Jeżeli za przyjmiemy to:
Jeżeli za przyjmiemy to:
Zobacz też
Kategoria:Teoria układów dynamicznych Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy