Wzór Möbiusa (twierdzenie Möbiusa o odwracaniu, odwracanie Möbiusa) – w matematyce to twierdzenie wiążące funkcje arytmetyczne z funkcją Möbiusa. Wzór pojawił się po raz pierwszy w pracach Dedekinda i Liouville’a w 1857r., 15 lat po wprowadzeniu przez Möbiusa funkcji .
Postać wzoru Twierdzenie. Niech dane będą funkcje arytmetyczne i Następujące relacje są sobie równoważne:
wtedy i tylko wtedy, gdy
gdzie jest funkcją Möbiusa. Stosując oznaczenie splotu Dirichleta oznacza to, że wtedy i tylko wtedy, gdy .
Dowód. Przez oznaczamy funkcję arytmetyczną, która dla wszystkich argumentów przyjmuje własność 1. Pierwsze równanie opisuje zależność Wiedząc, że funkcja jest odwrotna do funkcji względem splotu Dirichleta możemy zapisać lewa strona równości odpowiada drugiemu równaniu powyżej, to kończy dowód.
Postać multiplikatywna Rozważając odwracanie Möbiusa dla odpowiednio zdefiniowanych funkcji arytmetycznych i przyjmując i twierdzenie możemy zapisać następująco.
Dla danych funkcji arytmetycznych i zachodzi równość
wtedy i tylko wtedy, gdy
Uogólnione odwracanie Möbiusa Twierdzenie Möbiusa można uogólnić na funkcje niebędące funkcjami arytmetycznymi, ale o określonych własnościach. Uogólnioną postać wykorzystuje się szczególnie w analitycznej teorii liczb.
TwierdzenieApostol 2010, s. 39–40.. Niech będą funkcjami określonymi na zbiorze przyjmującymi wartości rzeczywiste lub zespolone, przy czym dla Ponadto, niech będzie funkcją arytmetyczną o odwrotności względem splotu Wówczas
wtedy i tylko wtedy, gdy
W szczególności, jeśli jest całkowicie multiplikatywna, to i wówczas
wtedy i tylko wtedy, gdy
Zapis oznacza tutaj sumę po wszystkich liczbach całkowitych dodatnich mniejszych lub równych danej liczbie rzeczywistej
Dowód. Oznaczając przez funkcję
możemy wykazać, że dla dowolnych funkcji arytmetycznych i oraz funkcji zdefiniowanej na zachodzi łączność działania tzn.
Dla mamy
Występująca suma po składnikach to w istocie splot Dirichleta więc równość zachodzi. Stąd, jeśli to
gdzie i dla
Przykłady Tocjent Eulera
Niech będzie tocjentem, tzn. dla dowolnej liczby całkowitej niech oznacza liczbę liczb całkowitych względnie pierwszych z Znane twierdzenie Eulera mówi, że
Twierdzenie Möbiusa mówi, że jest to równoważne relacji
Tę tożsamość możemy wykorzystać chociażby, aby uzasadnić, że średni rząd funkcji wynosi Mamy
Suma przy dąży do wartości odwrotności funkcji zeta, Suma w błędzie szacowania jest sumą częściową szeregu harmonicznego, więc jest rzędu logarytmu naturalnego. Dlatego
Stąd wynika już wprost, żeApostol 2010, s. 62.
Zobacz też funkcja Möbiusa splot Dirichleta
Przypisy
Kategoria:Twierdzenia teorii liczb