Łańcuchy – w teorii częściowych porządków i w teorii mnogości podzbiory porządku, na których relacja porządkująca jest spójna.

Definicja Przy określonym częściowym porządku zbiór nazywamy łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy

Innymi słowy zbiór jest łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy relacja porządkuje go liniowo, czyli jest ona relacją spójną w

Intuicyjnie, zbiór jest łańcuchem, gdy da się porównać każde dwa jego elementy.

Przykłady i własności Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest łańcuchem (i jednocześnie jest też antyłańcuchem). Rozważmy płaszczyznę z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez wtedy i tylko wtedy, gdy i (Powyżej, jest standardową nierównością na prostej rzeczywistej ) Wówczas każda prosta pionowa i każda prosta o nieujemnym współczynniku kierunkowym jest łańcuchem w Także wykres dowolnej funkcji rosnącej jest łańcuchem w tym porządku. Rozważmy zbiór wszystkich skończonych ciągów zero-jedynkowych uporządkowany (częściowo) przez relację wydłużania ciągów. Dla ciągu nieskończonego połóżmy Wówczas jest łańcuchem w Ponadto każdy łańcuch w tym porządku częściowym jest zawarty w zbiorze dla pewnego Twierdzenie Dilwortha mówi, że częściowy porządek jest sumą łańcuchów wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera elementowych antyłańcuchów (w sensie teorii posetów).

Warunki łańcucha W teorii porządków częściowych rozważa się czasami dwie własności porządków bezpośrednio związane z łańcuchami. Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Powiemy, że spełnia warunek rosnących łańcuchów lub ACC (od ang. ascending chain condition), jeśli każdy rosnący łańcuch jest od pewnego miejsca stały. Podobnie mówimy, że spełnia warunek malejących łańcuchów lub DCC (od ang. descending chain condition), jeśli każdy malejący łańcuch jest od pewnego miejsca stały.

W teorii forsingu rozważa się własność określaną czasami jako warunek przeliczalnego łańcucha. Własność ta bezpośredniego związku z łańcuchami nie ma i lepszą nazwą dla niej jest warunek przeliczalnych antyłańcuchów (jako że ta własność postuluje że każdy antyłańcuch w rozważanym pojęciu forcingu jest przeliczalny). Użycie słowa łańcuch było prawdopodobnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii. Innym możliwym wytłumaczeniem jest fakt, że jeśli jest zupełną algebrą Boole’a, to każdy antyłańcuch w jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy w algebrze nie istnieje nieprzeliczalny ściśle malejący ciąg

Funkcje kardynalne W porządkach skończonych wprowadza się długość porządku (czasami zwaną też wysokością porządku) jako ilość elementów w najdłuższym łańcuchu w tym porządku. Dwie funkcje kardynalne na algebrach Boole’a, głębokość i długość są bezpośrednio związane ze strukturą łańcuchów w rozważanej algebrze. Niech będzie algebrą Boole’a. Określamy jest łańcuchem jest dobrze uporządkowanym łańcuchem

Linki zewnętrzne [dostęp 2026-02-15].

Kategoria:Porządki