Entropia topologiczna – miara złożoności układu dynamicznego, będąca dodatnią liczbą z rozszerzonej osi liczb rzeczywistych. Intuicyjnie, opisuje ona tempo wykładniczego wzrostu złożoności opisu układu wraz ze wzrostem dokładności tego opisu.
Pierwotnie została zdefiniowana w 1965 przez Adlera, Konheima oraz McAndrew jako analogia dla entropii z teorii miary. Drugą, bardziej intuicyjną definicję podali Dinaburg oraz Bowen w latach 1970-1971. Obie definicje są sobie równoważne, jednak w praktyce definicja Bowena-Dinaburga jest znacznie łatwiejsza do obliczeń.
Definicje Topologiczny układ dynamiczny składa się z przestrzeni Hausdorffa (zazwyczaj zakłada się jej zwartość) oraz ciągłego odwzorowania .
Definicja Adlera, Konheima i McAndrew Niech będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Dla dowolnego skończonego pokrycia otwartego przestrzeni niech oznacza logarytm (zazwyczaj o podstawie 2) z minimalnej liczby elementów , które stanowią pokrycie .
Dla dwóch skończonych pokryć otwartych i przez oznaczmy pokrycie złożone z przecięć elementów tych pokryć. Analogicznie rozszerzamy tę notację na większą liczbę pokryć.
Dla dowolnego ciągłego odwzorowania istnieje granica:
Entropią topologiczną dla odwzorowania f określamy liczbę:
Gdzie przez oznaczamy zbiór wszystkich skończonych pokryć .
Definicja Bowena-Dinaburga Niech będzie odwzorowaniem ciągłym w zwartej przestrzeni metrycznej .
Dla zdefiniujmy ciąg metryk dany wzorem:
Dla dowolnego i dwa punkty w są w odległości nie większej niż wtedy i tylko wtedy, gdy ich pierwsze n iteracji nie oddala ich o więcej niż Metryki te są równoważne więc w szczególności są zwartymi przestrzeniami metrycznymi.
Mówimy, że podzbiór przestrzeni metrycznej jest ε-oddzielony, gdy dowolne dwa jego punkty są w odległości co najmniej ε w metryce odziedziczonej z . Niech będzie maksymalną mocą takiego zbioru dla . Ponieważ ta przestrzeń metryczna jest zwarta, gwarantuje to, że moc takiego zbioru jest liczbą skończoną.
Entropią topologiczną dla odwzorowania f określamy liczbę:
Interpretacja Granica ta zawsze istnieje w rozszerzonej osi liczb rzeczywistych, jednak może wynosić . Ze względu na użycie logarytmu h(f) mierzy szybkość wykładniczego wzrostu maksymalnej liczby orbit, których punkty będą oddalać się o co najmniej ε, gdy ε jest dowolnie mały. W tym sensie h(f) jest miarą złożoności układu dynamicznego i opisuje w toporny, ale sugestywny sposób całkowitą wykładniczą złożoność struktury orbity poprzez jedną tylko liczbę.
Uwagi do definicji Założenie o metryzowalności przestrzeni tylko pozornie jest ograniczające, ponieważ zwarte przestrzenie Hausdorffa są metryzowalne. Mimo że teoretycznie wartość entropii w definicji Bowena-Dinaburga zależy od metryki zadającej topologię na , to dla metryk równoważnych (zadających tę samą topologię) wartości te są równe, więc wybór metryki nie ma znaczenia. Bowen wykazał, że założenie o zwartości przestrzeni metrycznej w definicji Bowena-Dinaburga nie jest konieczne, jeżeli założy się jednostajną ciągłość odwzorowania.
Własności entropii topologicznej Układy chaotyczne wyróżniają się posiadaniem dodatniej entropii. Entropia topologiczna jest niezmiennikiem sprzężenia topologicznego. Entropia topologiczna odwzorowań zwężających oraz izometrii jest zerowa. Jeżeli jest domkniętym zbiorem f-niezmienniczym, to Jeżeli gdzie są domkniętymi zbiorami f-niezmienniczymi, to
Jeżeli odwzorowanie jest faktorem odwzorowania to gdzie zaś odwzorowanie dane jest wzorem:
Kategoria:Teoria układów dynamicznych