Obiekt początkowy (końcowy) – dla ustalonej kategorii obiekt o tej własności, że dla każdego obiektu tej kategorii istnieje dokładnie jeden morfizm (odpowiednio ). Obiekty początkowy i końcowy danej kategorii, o ile tylko istnieją, są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do (jedynego) izomorfizmu. Obiekt, który jest jednocześnie początkowy i końcowy, nazywany jest obiektem zerowym kategorii
Przykłady Zbiór pusty jest obiektem początkowym w kategorii wszystkich zbiorów. Każdy zbiór jednoelementowy jest obiektem końcowym tej kategorii. W kategorii wszystkich grup obiektem początkowym, a zarazem końcowym (a więc zerowym), jest grupa jednoelementowa. W kategorii punktowanych przestrzeni topologicznych (tj. przestrzeni z wyróżnionym punktem, w której od morfizmów wymagamy, by przeprowadzały wyróżnione punkty na wyróżnione punkty), obiektem zerowym jest przestrzeń jednopunktowa. W kategorii wszystkich pierścieni z jedynką obiektem początkowym jest pierścień liczb całkowitych, obiektem końcowym natomiast pierścień zerowy. Każdy zbiór częściowo uporządkowany może być rozpatrywany jako kategoria, której obiektami są elementy zbioru Powiemy, że istnieje morfizm między elementami wtedy i tylko wtedy, gdy Kategoria ta ma obiekt początkowy (końcowy) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze istnieje element najmniejszy (odpowiednio największy).
Bibliografia
Linki zewnętrzne Final object , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Kategoria:Teoria kategorii