Rozwinięcie Laplace’a – wzór rekurencyjny określający wyznacznik -tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach Nazwa wzoru pochodzi od francuskiego matematyka Laplace’a.
Niech Wówczas: dla każdego ustalonego zachodzi dla każdego ustalonego zachodzi
gdzie: jest elementem macierzy w -tym wierszu i -tej kolumnie, jest dopełnieniem algebraicznym elementu
Powyższe wzory nazywamy rozwinięciami Laplace’a, pierwszy względem -tej kolumny, a drugi względem -tego wiersza.
Przykład Przy obliczaniu wyznacznika korzystamy z twierdzenia Laplace’a tak długo, aż uzyskamy macierze, których wyznaczniki można obliczyć wprost (drugiego, trzeciego stopnia). Dobrze jest przy tym skorzystać z faktu, iż dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza/kolumny innego wiersza/kolumny lub kombinacji liniowej tychże nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem wyzerować jak najwięcej elementów pewnego wiersza/kolumny.
Obliczmy wyznacznik następującej macierzy czwartego stopnia:
Wygenerujmy jak najwięcej zer w ostatnim wierszu (z wyjątkiem np. ostatniego wyrazu): dodajmy czwartą kolumnę do pierwszej oraz trzeciej, zaś odejmijmy ją od drugiej:
Redukujemy w ten sposób wyznacznik macierzy czwartego stopnia do iloczynu skalara, oraz wyznacznika macierzy trzeciego stopnia. Stosując rozwinięcie Laplace’a względem czwartego wiersza (pamiętać należy o znakach wyliczanych minorów) dostaniemy:
Zredukujmy raz jeszcze współczynniki macierzy kolumnowo – odejmijmy pierwszą od ostatniej, następnie trzecią dodajmy do drugiej:
Ponownie korzystamy z rozwinięcia Laplace’a, tym razem względem drugiej kolumny:
Z kolei zredukujemy współczynniki w ostatnim wierszu, odejmując pierwszy wiersz od drugiego:
i po raz ostatni korzystamy z twierdzenia, tym razem rozwijając względem drugiego wiersza:
Zobacz też macierz operator liniowy wyznacznik
Przypisy
Kategoria:Twierdzenia o wyznacznikach