Część wspólna, przekrój, przecięcie, iloczyn mnogościowy – zbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.
Definicje thumb|250px|Przekrój zbiorów i oznaczony kolorem fioletowym Część wspólna zbiorów i to zbiór, do którego należą te elementy zbioru które należą również do . Część wspólna zbiorów i jest oznaczana przez Tak więc: ,
co jest równoważne zapisowi ,
gdzie jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią lub uniwersum.
Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór elementów należących jednocześnie do wszystkich zbiorów z rodziny :
Można to równoważnie zapisać jako .
Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów gdzie zbiór indeksów jest niepusty, część wspólną definiuje się jako
co jest równoważne .
Przykłady Niech będzie zbiorem liczb naturalnych, a niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn. dzieli ale
Niech będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek Wówczas
Własności Operacje skończone Dla dowolnych zbiorów zachodzą następujące równości:
(łączność), (przemienność), oraz (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego), oraz (prawo De Morgana).
Ponadto, wtedy i tylko wtedy, gdy
Operacje nieskończone Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech oraz będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów są niepuste. Niech będzie dowolnym zbiorem. Wówczas
Związek z funkcjami Dla dowolnej funkcji dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru zachodzą następujące dwa stwierdzenia: (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazów); (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).
W zbiorze potęgowym
Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego (tzw. uniwersum) oraz jest rodziną wszystkich podzbiorów, tzw. zbiorem potęgowym, zbioru to
jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole’a). Algebra Boole’a ta jest zupełna. Zbiór jest elementem neutralnym operacji części wspólnej
Zapis
gdy (tzn. gdy jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu.
Zobacz też
iloczyn kartezjański prawa De Morgana różnica zbiorów suma zbiorów
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Działania na zbiorach