Baza ortonormalna – zbiór wektorów w przestrzeni unitarnej z iloczynem skalarnym o następujących własnościach: dla każdego (tj. każdy element ma normę 1), ortogonalność: dla różnych domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru jest całą przestrzenią
Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta.
Uwaga: Baza ortonormalna w algebrze liniowej i w analizie funkcjonalnej nie są pojęciami tożsamymi. W algebrze liniowej warunek domknięcia zastąpiony jest warunkiem jednoznaczności rozkładu:
otoczka liniowa zbioru jest całą przestrzenią
nie zaś tylko jej domknięcie. Brak operacji domknięcia sprawia, że w typowym przykładzie nieskończnie wymiarowej przestrzeni Hilberta, przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem, baza ortornomalna jest zbiorem nieprzeliczalnym, kiedy rozpatrywana jest w sensie algebry liniowej (jest ona wtedy pokrewna pojęciu bazy Hamela). Jednocześnie wraz z warunkiem domknięcia jest zbiorem przeliczalnym - jak wskazano w przykładach poniżej.
Przykłady Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem. Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera. Bazą ortonormalną przestrzeni gdzie jest dowolnym zbiorem, jest rodzina gdzie:
Podstawowe wzory Jeżeli jest bazą ortonormalną przestrzeni to dowolny wektor tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:
Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.
Normę wektora można wyrazić za pomocą równości:
Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.
Przestrzeń Hilberta z bazą jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią gdzie jest dowolnym zbiorem równolicznym z
Istnienie bazy ortonormalnej Jeżeli jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta to domknięcie powłoki liniowej zbioru jest podprzestrzenią liniową Zbiór jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.
Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna, można uzasadnić, że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną. Istnieją przestrzenie unitarne bez bazy ortonormalnej.
Ortogonalizacja Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Piotr Stachura, Wprowadzenie do baz ortonormalnych, kanał Khan Academy na YouTube, 9 listopada 2021 [dostęp 2024-06-22]. [dostęp 2025-11-18]. [dostęp 2025-11-18].
Kategoria:Wektory Kategoria:Przestrzenie Hilberta