thumb|200px thumb|200px|Pole pod wykresem funkcji na przedziale nieskończonym jest skończone, równe Całka niewłaściwa – rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona. W obu przypadkach jest to granica pewnej funkcji zdefiniowanej przez całkę.
Ustalenia wstępne Całka na przedziale nieograniczonym Niech dla każdego funkcja
jest całkowalna w przedziale Granicę
nazywa się całką niewłaściwą funkcji w granicach od do Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówi się, że jest rozbieżna. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od do i od do
Można udowodnić, że ostatnie wyrażenie (jeżeli ta granica istnieje) jest równe
gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą. Oprócz tego, istnienie obu całek z wyrażenia powoduje istnienie granicy z jeżeli te całki nie są równe nieskończonościom różnych znaków. Więc całkę można zdefiniować przez wyrażenie
Całka funkcji nieograniczonej Niech
będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale gdzie oraz jest nieograniczona w każdym przedziale na lewo od punktu (punkt taki nazywany jest punktem osobliwym funkcji ). Granicę
nazywa się całką niewłaściwą funkcji w przedziale Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna – w przeciwnym przypadku – tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówi się, że jest ona rozbieżna. Analogicznie określa się przypadek, gdy punkt jest punktem osobliwym.
W przypadku, gdy oba punkty są punktami osobliwymi, metoda definiowania jest analogiczna jak w podanej wyżej definicji całki tj. można wykorzystać granicę podwójną albo napisać, że
Analogicznie, z pomocą rozbicia przedziału, definiuje się całka o skończonej liczbie punktów osobliwych wewnątrz odpowiedniego przedziału. Tę samą metodę stosuje się do definiowania całki, w której i przedział jest nieskończony, i funkcja jest nieograniczona.
Warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całki Niech będzie funkcją określoną na pewnym przedziale poza, być może, skończoną liczbą punktów osobliwych. Wtedy całkę (niewłaściwą)
nazywa się zbieżną bezwzględnie, jeżeli całka
istnieje i jest skończona. Gdy istnieje całka ale nie istnieje całka modułu, całkę nazywa się zbieżną warunkowo.
Dla przykładu, całka
jest warunkowo zbieżna. Wynika to z następującego kryterium porównywania z szeregiem, zastosowanym dla całki
Kryteria zbieżności całek niewłaściwych Badanie zbieżności szeregu Całka niewłaściwa istnieje i jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu punktów przedziału gdzie
oraz
szereg liczbowy
jest zbieżny.
Kryterium porównawcze Jeżeli funkcje
są nieujemne oraz istnieje taka liczba że dla każdego zachodzi nierówność oraz całka jest zbieżna, to również całka jest zbieżna.
Powyższe kryterium można nieco wzmocnić i wypowiedzieć je w sposób następujący:
Kryterium asymptotyczne Jeżeli istnieje granica
to gdy ze zbieżności całki wynika zbieżność całki (a to, przez kontrapozycję, jest równoważne temu, iż z rozbieżności drugiej całki wynika rozbieżność pierwszej), gdy z rozbieżności całki wynika rozbieżność całki (czyli ze zbieżności drugiej wynika zbieżność pierwszej).
Ostatecznie, w przypadku, gdy obie całki są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.
Kryterium Abela Załóżmy, że funkcje są takie, że 1) jest zbieżna; 2) funkcja jest monotoniczna i ograniczona.
Wówczas całka
jest zbieżna.
Kryterium Dirichleta
Załóżmy, że funkcja jest całkowalna w każdym przedziale oraz 1) istnieje taka liczba nieujemna że dla każdego
2) funkcja jest zbieżna monotonicznie do przy
Wówczas całka
jest zbieżna.
Obliczanie całek za pomocą metod analizy zespolonej Jeżeli całka jest zbieżna, to możemy ją próbować obliczyć za pomocą analizy zespolonej.
Całka funkcji wymiernej Wszystkie funkcje wymierne których mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych, a licznik jest co najmniej o dwa stopnie niższy niż mianownik, można obliczyć metodami analizy zespolonej.
W obliczeniach będziemy stosowali pojęcie residuum funkcji. Jeżeli wewnątrz zamkniętej krzywej całkowania znajdą się bieguny funkcji i ta funkcja jest analityczna we wszystkich innych punktach obszaru ograniczonego tą krzywą, to wartość całki wyniesie:
gdzie to krzywa gładka, skierowana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.
Oznacza to, że całkę postaci
możemy rozpatrywać jako sumę całek od do wzdłuż osi rzeczywistej oraz po półokręgu o promieniu przechodzącym przez punkty i skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Kontynuując, można wykazać, że wartość tej całki będzie wynosiła:
przy założeniu, że wszystkie punkty znajdują się w górnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych (ich część urojona jest większa od 0). Punkty leżące w dolnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych ignorujemy.
Całka funkcji wymiernej z funkcjami trygonometrycznymi
Całki funkcji postaci bądź liczy się podobnie do całek z funkcji niewymiernych. Niezbędne jest jednak ich inne przekształcenie na całkę zespoloną:
bądź
Przykłady
1. Całka na przedziale nieskończonym
oraz
2. Całka funkcji nieograniczonej
oraz
3. Całki występujące w definicji niektórych rozkładów prawdopodobieństwa – całka Gaussa, występuje w rozkładzie Maxwella. – całka występująca w rozkładzie Boltzmanna. – całka występująca w rozkładzie Bosego-Einsteina. – całka występująca w rozkładzie Fermiego-Diraca.
gdzie: – dowolna dodatnia liczba rzeczywista, – funkcja gamma Eulera, – funkcja zeta Riemanna, – funkcja eta Dirichleta.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Polskojęzyczne Witold Majdak, Całki niewłaściwe [w:] Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, serwis „Open AGH”, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2025-10-07]. Helena Kazieko, Całka niewłaściwa, kanał Nauka / Science SGGW na YouTube, 7 maja 2020 [dostęp 2024-08-03]. Piotr Stachura, Wprowadzenie do całek niewłaściwych, kanał Khan Academy na YouTube, 16 sierpnia 2017 [dostęp 2024-06-23].
Anglojęzyczne [dostęp 2025-07-16]. Improper integral , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
niewłaściwa