Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek. __TOC__
Opis metody Jeśli: Funkcja jest różniczkowalna w jest przedziałem Funkcja ma funkcję pierwotną w przedziale tzn. dla należących do
to funkcja jest całkowalna w oraz:
Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:
to można zmienić podstawę całkowania na
W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:
Założenia: Funkcja jest całkowalna w swej dziedzinie. Funkcja określona na przedziale jest różniczkowalna w sposób ciągły. dla każdego z przedziału Obraz funkcji zawiera się w dziedzinie funkcji
Wówczas:
Przykłady Obliczając całkę zastosować można podstawienie tzn. więc:
Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:
Przydatne podstawienia Całkowanie funkcji trygonometrycznych Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń: W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane. Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus stosuje się podstawienie Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus stosuje się podstawienie Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie stosuje się podstawienie
Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:
zachodzi:
W przypadku podstawienia mamy dla funkcji postaci
Przykłady Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:
Podstawienia Eulera
Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci gdzie R jest funkcją wymierną.
I podstawienie Eulera I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: Wobec tego otrzymuje się:
Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:
II podstawienie Eulera II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:
Zachodzi:
Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się:
Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:
Wtedy gdy to da się tak dobrać aby
III podstawienie Eulera III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0, x1 trójmianu Przyjmuje się wtedy: Stąd:
Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:
Całkowanie różniczek dwumiennych Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: gdzie i są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz i są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto gdzie są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę
można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach: gdy jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień. gdy jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie gdy jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie
Podstawienia trygonometryczne Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień: – podstawiamy lub – podstawiamy lub – podstawiamy lub
Inne podstawienia Całki typu obliczamy przez podstawienie Stąd: Całki typu gdzie p1, p2, ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p1, p2, ..., pn.
Zobacz też całkowanie przez części
Przypisy
Linki zewnętrzne Tomasz Drwięga, Podstawienia Eulera, serwis Open AGH, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2024-09-09]. Nagrania na YouTube [dostęp 2024-09-09]: Analiza – całkowanie przez podstawienie, kanał Khan Academy. Helena Kazieko, Całkowanie przez podstawienie, kanał Nauka / Science SGGW, 5 maja 2020. Paweł Lubowiecki, Całka nieoznaczona cz. IV. – Całkowanie przez podstawienie, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT”, 7 czerwca 2022. Integration by substitution , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Całki