Iloczynem tensorowym modułów i nazywa się taki moduł, którego odwzorowania liniowe (homomorfizmy) w dowolny moduł są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z odwzorowaniami dwuliniowymi modułów i w moduł
Istnienie i określenie Jeżeli jest pierścieniem przemiennym oraz i są odpowiednio prawym i lewym -modułem, to istnieje z dokładnością do izomorfizmu jedyny taki -moduł oraz odwzorowanie dwuliniowe
że dla każdej grupy abelowej oraz dla każdego odwzorowania dwuliniowego
istnieje taki homomorfizm grup
że
Moduł (wraz z odzorowaniem ) nazywana jest iloczynem tensorowym modułów i i oznaczana symbolem (bądź po prostu gdy z kontekstu wynika nad jakim pierścieniem rozważane są moduły). Innymi słowy, iloczyn tensorowy i to jedyna z dokładnością do izomorfizmu grupa abelowa dla której diagram 220px
jest przemienny.
Konstrukcja iloczynu tensorowego modułów Iloczyn tensorowy -modułów i (wraz z odwzorowaniem ) może zostać skonstruowany w następujący sposób: rozpatrzmy moduł wolny generowany przez iloczyn kartezjański Jego elementami są funkcje o skończonym nośniku postaci
dla pewnych gdzie oznacza funkcję, która przyporządkowuje 1, gdy i 0 w przeciwnym wypadku. Moduł ilorazowy
gdzie jest podmodułem modułu generowanym przez elementy postaci
dla jest iloczynem tensorowym modułów i
Element
nazywany jest tensorem prostym elementów i a każdy element – tensorem. Zbiór wszystkich tensorów prostych jest zbiorem wolnych generatorów iloczynu tensorowego Tensor prosty jest obrazem pary w homomorfizmie kanonicznym
Jeżeli są -bimodułami, to można wprowadzić definicję iloczynu tensorowego
zastępując odpowiednio odwzorowania dwuliniowe odwzorowaniami -liniowymi w określeniu.
Zobacz też iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych iloczyn tensorowy macierzy iloczyn tensorowy przestrzeni Banacha iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
Bibliografia Claude Chevalley, Fundamental concepts of algebra. New York, Academic Press, 1956. s. 74–77.
Kategoria:Przestrzenie liniowe Kategoria:Teoria modułów