mały|Półprosta przedstawiająca liczby naturalne z zerem – wariant osi liczbowej. Elementem minimalnym jest tu zero (0), a elementu maksymalnego nie ma mały|Diagram Hassego przykładowego posetu z dwoma elementami minimalnymi (a, b) i dwoma maksymalnymi (c, d) mały|Diagram Hassego dzielników liczby 60 z relacją podzielności. Zbiór zaznaczony na czerwono, czyli {1, 2, 3, 4}, ma jeden element minimalny (1) i dwa maksymalne (3, 4)

Elementem minimalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym nazywamy każdy taki element że nie ma w elementów mniejszych od niego. Symbolicznie Marek Zaionc, Jakub Kozik i Marcin Kozik, Logika i teoria mnogości, wykład 10. Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości, wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2025-01-20].:

Dualnie, elementem maksymalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym nazywamy każdy taki element że nie ma w elementów większych od niego. Symbolicznie:

Uwagi W zbiorze częściowo uporządkowanym może istnieć więcej niż jeden element minimalny. Element minimalny nie musi być najmniejszym. Jeśli jednak w zbiorze istnieje element najmniejszy, to jest on równocześnie minimalny, i jest to wtedy jedyny element minimalny w tym zbiorze. Jeżeli w zbiorze istnieje dokładnie jeden element minimalny, to nie musi on być elementem najmniejszym.

Analogiczne własności ma element maksymalny.

Przykłady Rozważmy zbiór gdzie oznacza zbiór liczb naturalnych a relacja częściowego porządku określona jest następująco:

Z definicji wynika m.in., że   i nieprawda, że np. Jedynym elementem maksymalnym tej relacji jest −1, elementami minimalnymi są . W porządku tym nie ma elementu najmniejszego ani największego. W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku ‘<’ zdefiniowaną jako jest dopływem. Mamy na przykład: „Białka” < „Dunajec” < „Wisła” „Poprad” < „Dunajec” < „Wisła” „Noteć” < „Warta” < „Odra” „Moskwa” < „Oka” < „Wołga” „Otava” < „Wełtawa” < „Łaba” Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne). Elementami minimalnymi porządku są wszystkie rzeki, które nie mają dopływów, a elementu najmniejszego nie ma (byłaby nim rzeka wpadająca do każdej innej – bezpośrednio lub poprzez inny dopływ). Uwaga: aby uznać ten przykład za poprawny model, należałoby przyjąć, że każda rzeka wpada do siebie samej.

Zobacz też elementy najmniejszy i największy funkcje minimum i maksimum

Przypisy

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-01-30].

Kategoria:Porządki