Twierdzenie Lagrange’a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym; jest to uogólnienie twierdzenia Rolle’a oraz szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego i twierdzenia Taylora.
Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange’a, który podał je i udowodnił w 1797 roku.
Twierdzenie Jeśli dana funkcja jest ciągła w przedziale różniczkowalna w przedziale
to istnieje taki punkt że:
Interpretacje mały|300px
W języku geometrii twierdzenie Lagrange’a mówi o tym, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu do punktu istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami i
współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie wynosi Na mocy twierdzenia Lagrange’a jest on równy
Z kolei teza twierdzenia Lagrange’a zapisana w postaci iloczynowej
wskazuje na to, że przyrost wartości funkcji dla argumentów i wyraża się przez przyrost wartości zmiennej (argumentów) i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między i – stąd właśnie nazwa twierdzenia.
Dowód Przyjmijmy następujące oznaczenia: , .
Mamy wtedy: ,
co, przechodnio, daje: .
Ponadto: ,
skąd mamy: .
A zatem:
,
czyli funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle’a. Stąd, na mocy twierdzenia Rolle'a, możemy stwierdzić, że istnieje taki punkt , że .
Z drugiej strony mamy: . Stąd otrzymujemy: .
Dlatego też, ostatecznie: ; czego należało dowieść.
Historia mały|Joseph Louis Lagrange (1736–1813)
Pierwszy przykład zastosowania został opisany przez Parameśwarę (1380–1460), z keralskiej szkoły astronomii i matematyki, w jego komentarzach do Gowindśwvāminiego i Bhaskaraćarji. W 1691 roku Michel Rolle udowodnił prostszą postać tego twierdzenia dla wielomianów (nie powołując się na metody rachunku różniczkowego); dziś szczególny przypadek twierdzenia Lagrange’a znany jest właśnie jako twierdzenie Rolle’a. Twierdzenie Lagrange’a we współczesnej postaci i pełnej ogólności zostało postawione i udowodnione przez Augustina Louisa Cauchego w 1823 roku.
Uogólnienie Dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach wektorowych (a nawet w dla ) teza twierdzenia nie jest spełniona. Na przykład linia śrubowa (traktowana jako wykres funkcji ) podczas jednego obrotu nie ma w żadnym momencie pochodnej zerowej, a powraca do swojej wartości (na osiach x,y).
Dla funkcji różniczkowalnej o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha spełniona jest nierówność:
Dowód polega na wykazaniu, że dla liczby i każdego ograniczenia górnego normy pochodnej na przedziale to jest kresem górnym zbioru końców przedziału, dla których spełniona jest teza, gdy zastąpić w niej przez i supremum przez ograniczenie górne. Wystarczy wtedy zauważyć, że nierówność pozostanie prawdziwa zastąpiwszy ograniczenie kresem, a ponadto może być dowolnie mała dzięki ciągłości funkcji
Zobacz też twierdzenie Darboux
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Witold Tomaszewski, Wycieczki z Lagrange’em, czyli matematyka wokół nas, „Matematyka i Informatyka na Uczelniach Technicznych” (MINUT) – Politechnika Śląska, minut.polsl.pl, , 2021 [dostęp 2026-01-17]. Twierdzenie o wartości średniej, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-28].
Finite-increments formula , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2022-06-20].
Kategoria:Twierdzenia rachunku różniczkowego