mały|Prosta, półprosta i odcinek – jednowymiarowe figury geometryczne odpowiadające niektórym rodzajom przedziałów liczbowych mały|Całkę Riemanna definiuje się przez podział dziedziny funkcji na przedziały.
Przedział – typ podzbioru w zbiorze częściowo uporządkowanym, zdefiniowany odpowiednimi nierównościami; elementy przedziału są zawarte między dwoma ustalonymi elementami, nazywanymi początkiem i końcem przedziału. Podstawowe przykłady to przedziały liczbowe – podzbiory liczb rzeczywistych wyposażonych w standardowy porządek: .
Wyróżnia się różne typy przedziałów: ograniczone lub nie Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-06-21].; otwarte, domknięte lub otwarte jednostronnie, zwane też jednostronnie domkniętymi, półotwartymi lub półdomkniętymi .
Niektóre przedziały liczbowe można utożsamiać z podstawowymi, jednowymiarowymi figurami geometrycznymi: zbiór wszystkich liczb rzeczywistych to prosta; przedziały nieograniczone domknięte (jednostronnie) to półproste; przedziały ograniczone domknięte (obustronnie) to odcinki.
Przedziały, zwłaszcza te liczbowe, są używane w różnych działach matematyki i innych naukach, co opisano dalej.
Definicje formalne Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech oraz
Przedziałem wyznaczonym przez jest jeden z następujących zbiorów: – przedział (obustronnie) otwarty, – przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty), – przedział (obustronnie) domknięty, – przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty).
Ponadto – przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie otwarty, – przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty, – przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie otwarty, – przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie domknięty.
Jeśli w zbiorze uporządkowanym istnieje element największy, to definicja przedziału prawostronnie nieograniczonego jest zbędna; jeśli istnieje element najmniejszy, to definicja przedziału lewostronnie nieograniczonego jest zbędna.
Dla pełności należy dodać jeszcze następujące dwie definicje: – przedział obustronnie nieograniczony, czyli cały zbiór – przedział pusty, czyli przedział niezawierający żadnego elementu; takim przedziałem są np. , , .
Oznaczenia Niektórzy autorzy używają oznaczeń itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku.
Często zamiast stosuje się oznaczenie i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy jednak zwrócić uwagę, że zarówno jak i do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.
Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje zamiast oznaczeń dla przedziałów lewo- i prawo- lub obustronnie otwartych stosowanie następujących oznaczeń
Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.
Przykłady Przedziały liczbowe: – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych ale mniejszych niż przedział nieskończony złożony z wszystkich liczb większych niż – przedziały puste, – przedział jednopunktowy
Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane: jest zbiorem skończonym (jest to zbiór skończony liczb całkowitych ), zaś jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od –5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział pomiędzy liczbami rzeczywistymi oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn. podobnie dla innych przedziałów.
Rozważmy płaszczyznę z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez i gdzie relacja jest naturalnym porządkiem na prostej Wówczas zapis w postaci oznacza domknięty kwadrat o wierzchołkach w punktach płaszczyzny , tzn. zbiór
Własności mały|Suma mnogościowa dwóch przedziałów może nie być przedziałem. mały|Suma mnogościowa dwóch przedziałów może również być przedziałem; warunkiem wystarczającym na to jest, by miały niepusty przekrój. Nie jest to jednak warunek konieczny – przedziały liczb nieujemnych oraz ujemnych są rozłączne, jednak ich suma mnogościowa – cała oś rzeczywista – jest przedziałem. mały|Przekrój (przecięcie) dwóch przedziałów zawsze jest przedziałem. Innymi słowy zbiór wszystkich przedziałów liczbowych z działaniem przekroju tworzy monoid, gdzie elementem neutralnym jest cała oś rzeczywista. Ten typ monoidów – gdzie każdy element jest idempotentny – zalicza się do pasów.
Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.
Niech będzie porządkiem liniowym. Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem. Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem, albo sumą dwóch przedziałów. Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem. Otwarte przedziały w tworzą bazę pewnej topologii na – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na albo topologią porządkową na . Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.
Każdy przedział liczbowy otwarty jest jednocześnie zbiorem otwartym w sensie topologii; podobnie przedziały domknięte należą do zbiorów domkniętych. Zbiór pusty oraz cała oś rzeczywista można zaliczyć do przedziałów otwartych lub półotwartych i są one zbiorami zbiorami otwarto-domkniętymi. Inne przedziały półotwarte nie są ani zbiorami otwartymi, ani domkniętymi. Przedziały liczbowe są tym samym, co zbiory spójne na osi rzeczywistej.
Charakteryzacje przedziałów w zbiorze liczb rzeczywistych Tw. Niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych ze standardowym porządkiem . Dla dowolnego zbioru następujące warunki są równoważne:
jest przedziałem, dla wszystkich zachodzi , dla wszystkich oraz dowolnego zachodzi .
W powyższym przez przedział rozumiemy również przedział pusty oraz cały zbiór .
Zakładając, że jest przedziałem, warunek 2. mówi, że odcinek zawarty między dowolnymi dwoma punktami przedziału również jest przedziałem. Intuicja za warunkiem 3. bierze się z zauważenia, że przedział jest tym samym, co (potencjalnie nieskończona) suma odcinków w przestrzeni wektorowej nad . Formalny dowód podano niżej.
Dowód warunku 3. Załóżmy, że jest przedziałem domkniętym w przestrzeni liczb rzeczywistych. Niech oraz . Z definicji przedziału wynikają nierówności:
Ponieważ oraz , możemy pomnożyć powyższe nierówności stronami przez te współczynniki bez zmiany kierunku znaków nierówności:
Dodając obie nierówności stronami, otrzymujemy:
Wyciągamy oraz przed nawias odpowiednio po lewej i prawej stronie nierówności:
co upraszcza się do postaci:
Oznacza to, że , cnd. Rola Matematyka Za pomocą przedziałów i działania sumy zbiorów można opisać zbiory rozwiązań przynajmniej części równań i nierówności liczbowych, a także dziedziny często używanych funkcji zmiennej rzeczywistej, np. tych elementarnych; badanie przebiegu zmienności funkcji polega m.in. na wskazaniu przedziałów o określonym znaku wartości oraz o określonej monotoniczności i wypukłości lub wklęsłości; za pomocą przedziałów można zdefiniować pewne pojęcia analizy matematycznej jak własność Darboux czy całka Riemanna; przedziały są też jednym z fundamentów topologii; dostarczają podstawowych przykładów różnych typów zbiorów wyróżnianych przez tę naukę – otwartych, domkniętych, otwarto-domkniętych, spójnych, obszarów i continuów; zbiory przedziałów tworzą różne struktury algebraiczne, przykładowo z działaniem przekroju zbiorów, a w przypadku przedziałów liczbowych – z dodawaniem Minkowskiego i iloczynem kompleksowym; pojęcie przedziału pojawia się też w definicji prawdopodobieństwa jako miary o wartościach w przedziale jednostkowym; analiza numeryczna celuje m.in. w znajdowanie przedziałów, w których znajdują się rozwiązania pewnych równań liczbowych; przedziały liczb wymiernych pojawiają się też w jednej z definicji konstrukcyjnych liczb rzeczywistych – przez przekroje Dedekinda;
Za pomocą przedziałów liczbowych i iloczynu kartezjańskiego można zdefiniować prostokąt, prostopadłościan i ich uogólnienia zwane przedziałami wielowymiarowymi. W topologii rozważa się też ich odpowiedniki oparte na nieskończonych iloczynach kartezjańskich, znane jako kostki Tichonowa. Inne odpowiedniki przedziałów w wyższych wymiarach to koła i kule – te ostatnie definiuje się w dowolnych przestrzeniach metrycznych.
Inne nauki Nauki empiryczne jak fizyka, astronomia i geodezja posługują się przedziałami liczbowymi, ponieważ to one – a nie pojedyncze liczby – są wynikami pomiarów, zawsze ograniczonych niepewnością.
Zobacz też
otoczenie i sąsiedztwo zakres (programowanie) zbiór borelowski analiza przedziałowa
Uwagi
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2023-08-19]. Interval and segment , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-19].
Kategoria:Liczby rzeczywiste Kategoria:Porządki