Prawo Gaussa dla elektryczności – prawo wiążące pole elektryczne z jego źródłem, czyli ładunkiem elektrycznym. Natężenie pola elektrycznego jest polem wektorowym i spełnia twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego: Strumień natężenia pola elektrycznego, przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym środowisku o bezwzględnej przenikalności elektrycznej jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności.
Prawo Gaussa w próżni W ujęciu całkowym Strumień natężenia pola elektrycznego przenikający przez zamkniętą powierzchnię ograniczającą obszar o objętości jest wprost proporcjonalny do ładunku elektrycznego zawartego w tym obszarze (objętości):
przy czym: wektor jest wektorem powierzchni, współczynnikiem proporcjonalności jest przenikalność elektryczna próżni
W ujęciu różniczkowym Dywergencja natężenia pola elektrycznego równa jest ilorazowi gęstości ładunku i przenikalności elektrycznej próżni:
przy czym: – dywergencja natężenia pola elektrycznego, – gęstość ładunku, – przenikalność elektryczna w próżni równa
Prawo Gaussa w materii W materii pole elektryczne wywołuje przesunięcie ładunków elektrycznych, co skutkuje powstaniem ładunków zwanych ładunkami indukowanymi. Prawo Gaussa obowiązuje także w tej sytuacji, ale trzeba uwzględnić ładunki indukowane w ośrodku. Jest to podejście bardzo niewygodne w związku z czym uwzględnia się ten wkład za pomocą przenikalności elektrycznej materiału ośrodka:
przy czym: – ładunki swobodne objęte powierzchnią – ładunki indukowane w ośrodku objęte powierzchnią – względna przenikalność elektryczna ośrodka, – przenikalność elektryczna ośrodka (bezwzględna).
W ujęciu różniczkowym prawo Gaussa można teraz zapisać jako
w którym: – gęstość ładunków swobodnych.
Wkład ośrodka można też uwzględnić za pomocą indukcji elektrycznej związanej z natężeniem pola elektrycznego przez
Dla której prawo Gaussa brzmi: Strumień indukcji elektrycznej przenikający przez zamkniętą powierzchnię jest równy ładunkowi elektrycznemu zawartemu w objętości zamkniętej powierzchnią
lub w postaci różniczkowej
w którym: – dywergencja indukcji elektrycznej.
Konsekwencje prawa Gaussa Wzór: jest wyrazem faktu, że pole wektorowe jest polem źródłowym.
Dla ładunku punktowego pole ma symetrię sferyczną, dzięki czemu strumień pola w odległości można zapisać jako:
w którym jest powierzchnią kuli o promieniu
Z powyższego wynika:
Pole powierzchni kuli jest równe Stąd wynikają wzory na natężenie pola elektrycznego oraz siłę oddziaływania ładunku próbnego z ładunkiem punktowym:
Otrzymany wzór wyraża prawo Coulomba. Dodatkowym wnioskiem z powyższego równania jest to, że jeżeli w prawie Coulomba występuje wykładnik równy dokładnie 2 (co jest wyznaczane eksperymentalnie), to nasza przestrzeń ma dokładnie 3 wymiary. Jest to jedna z niewielu bezpośrednich metod badania „wymiarowości” naszej przestrzeni.
Prawo Gaussa zostało później ujęte w równaniach Maxwella.
Odpowiednik dla magnetyzmu Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez powierzchnię zamkniętą równa się zeru. Fakt ten wynika stąd, iż pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne, dywergencja pola jest wszędzie równa zero.
Odpowiednik dla grawitacji Prawo Gaussa dotyczy także pól grawitacyjnych:
przy czym: – natężenie pola grawitacyjnego, – stała grawitacji.
Strumień natężenia pola przez powierzchnię zamkniętą równy jest całkowitej masie zamkniętej przez tę powierzchnię pomnożonej przez
Uwaga: Ta postać prawa Gaussa jest prawdziwa jedynie w teorii grawitacji Newtona. W ogólnej teorii względności już nawet w najprostszym przypadku jednorodnego pola przyspieszeń w zadanym obszarze (wektory przyspieszenia są w tym obszarze równoległe) zachodzi bowiem:
Zobacz też twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa twierdzenie Stokesa
Przypisy
Linki zewnętrzne Fizyka — prawo Gaussa, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-27].
Kategoria:Elektryczność Kategoria:Magnetyzm Kategoria:Grawitacja Kategoria:Prawa elektromagnetyczne