Funkcje eliptyczne Jacobiego (funkcje amplitudy Jakobiego) – funkcje, których argumenty są wartościami funkcji amplitudy Jacobiego, przy czym funkcja amplitudy Jacobiego jest funkcją odwrotną do całki eliptycznej niezupełnej pierwszego rodzaju.

Funkcje te mają własności analogiczne do własności funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych i redukują się do funkcji trygonometrycznych lub hiperbolicznych dla szczególnych wartości tzw. modułu k.

Funkcję amplitudy Jakobiego i funkcje eliptyczne Jacobiego definiuje się w ogólności na zbiorze liczb zespolonych. Niniejszy artykuł ogranicza się zasadniczo do podania własności funkcji Jacobiego na zbiorze liczb rzeczywistych.

Funkcje eliptyczne Jacobiego zdefiniował Carl Jacobi.

Definicja całki eliptycznej niezupełnej pierwszego rodzaju mały|253x253px|Całka eliptyczna niezupełna pierwszego rodzaju i funkcja do niej odwrotna czyli funkcja amplitudy Jacobiego. Zakres (-15, 15) mały|253x253px|Całka eliptyczna niezupełna pierwszego rodzaju i funkcja do niej odwrotna czyli funkcja amplitudy Jacobiego. Zakres (-60, 60) Df. Niezupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju nazywamy funkcję , która zmiennej przyporządkowuje zmienną za pomocą wzoru całkowego:

przy czym to tzw. moduł o ustalonej wartości, .

Całki eliptyczne pierwszego rodzaju tworzą rodzinę funkcji, mających wszystkie możliwe wartości modułu . mały|250x250px|Wykresy całek eliptycznych niezupełnych 1. rodzaju dla dla wybranych wartości modułu .

Definicja funkcji amplitudy Jacobiego mały|250x250px|Funkcje amplitudy Jacobiego am(x, k) dla różnych wartości k. Df. Funkcją amplitudy Jakobiego nazywamy funkcję , która zmiennej przyporządkowuje zmienną , taką że , tj. jest równe całce eliptycznej niezupełnej pierwszego rodzaju zmiennej o module .

Oznacza to, że funkcja amplitudy Jacobiego jest funkcją odwrotną do całki niezupełnej pierwszego rodzaju.

Funkcje amplitudy Jacobiego tworzą rodzinę funkcji o wszystkich możliwych wartościach modułu .

Wykresy funkcji amplitudy i całki eliptycznej (a) Wykresy funkcji amplitudy i odpowiadającej jej funkcji całki eliptycznej są wzajemnie symetryczne względem prostej y = x, co jest charakterystyczne dla wszystkich funkcji wzajemnie odwrotnych.

(b) Z wykresów tych funkcji widać periodyczność przyrostu ich wartości. Np. funkcja amplitudy wzrasta co o wartość .

Funkcje eliptyczne Jacobiego sinus, cosinus, delta Def. Funkcjami eliptycznymi Jacobiego sinus , cosinus , delta nazywamy następujące funkcje

1. Sinus amplitudy:

2. Cosinus amplitudy

3. Delta amplitudy

Zbiór wartości Tw. Funkcje eliptyczne Jacobiego przyjmują wartości rzeczywiste dla rzeczywistych wartości zmiennej oraz dla

Funkcje sn, cn, dn jako uogólnienie funkcji trygonometrycznych

Tożsamości analogiczne jak dla funkcji trygonometrycznych Tw. Funkcje eliptyczne Jacobiego spełniają tożsamości: (por. jedynka trygonometryczna)

gdzie i

Funkcje stanowią więc uogólnienie funkcji trygonometrycznych, gdyż spełniają tożsamości analogiczne jak funkcje trygonometryczne.

Wzory na sumy argumentów funkcji sn, cn, dn Zachodzą następujące zależności:

Dla dwa pierwsze z powyższych wzorów przechodzą w znane z klasycznej trygonometrii wzory na sinus i cosinus sumy kątów.

Twierdzenia o redukowaniu się do funkcji sinus, cosinus, hiperbolicznych Tw. Funkcje Jacobiego dla redukują się do funkcji sinus, cosinus i stałej:

zaś dla redukują się do funkcji hiperbolicznych

Dla argumentu zerowego funkcje te dla dowolnej wartości modułu przyjmują wartości:

Pochodne funkcji sn, cn, dn Tw. Pochodne funkcji eliptycznych Jacobiego:

Równania różniczkowe spełniane przez funkcje sn, cn, dn Dla argumentów rzeczywistych oraz słuszne są poniższe twierdzenia.

(a) Funkcja spełnia nieliniowe równania różniczkowe

(b) Funkcja spełnia nieliniowe równania różniczkowe

(c) Funkcja spełnia nieliniowe równania różniczkowe

Rozwinięcia w szereg Taylora

Funkcje eliptyczne Jacobiego można rozwinąć w szereg następująco

Funkcje pochodzące od funkcji eliptycznych Jakobiego Df. Definiuje się 3 funkcje utworzone z odwrotności funkcji Jakobiego:

Df. Definiuje się 6 funkcji utworzonych z ilorazów funkcji Jakobiego:

Definicje powyższe funkcji są analogiczne do definicji funkcji trygonometrycznych itd.; np.

Funkcje eliptyczne Jacobiego w dziedzinie zespolonej Funkcję amplitudy Jakobiego i funkcje eliptyczne Jacobiego definiuje się w ogólności na zbiorze liczb zespolonych.

Tw. Funkcje eliptyczne Jakobiego są funkcjami analitycznymi.

Twierdzenia nt. okresowości funkcji sn, cn, dn Tw. Niech

gdzie - całka eliptyczna zupełna pierwszego rodzaju (zależy od modułu k). Okresy funkcji eliptycznych wynoszą: dla oraz dla oraz dla oraz przy czym pierwsza liczba dotyczy okresu funkcji wzdłuż osi liczb rzeczywistych, a druga wzdłuż osi liczb urojonych.

Zobacz też funkcje eliptyczne całki eliptyczne funkcja eliptyczna Weierstrassa

Przypisy

Bibliografia W języku polskim:

W języku angielskim:

oraz A.G. Greenhill: The applications of elliptic functions, Macmillan, London – New York 1892. A.C. Dixon: The Elementary Properties of the Elliptic Functions, with Examples, Macmillan 1894. H. Hancock: Lectures on the Theory of Elliptic Functions, J.Wiley&sons, New York 1910. B. Harry, Higher transcendental functions, s. 294–383, XIII. Elliptic functions and integrals, tom II 1953. E.T. Whittaker, G.N. Watson: A Course of Modern Analysis, Cambridge 1996. W języku francuskim: C.G.J. Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Königsberg 1829. C. Briot, J.C. Bouquet: Théorie des fonctions elliptiques, Gauthier Villars, Paris 1875. G.H. Halphen: Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications, tome 1–4, Gauthier Villars, Paris 1886–1891. J. Tannery, J. Molk: Eléments de la théorie des fonctions elliptiques, tome 1 Introduction. Calcul différentiel. Ire partie, tome 2 Calcul différentiel. IIe partie, tome 3 Calcul intégral. Ire partie, Théorèmes généraux. Inversion, tome 4 Calcul intégral. IIe partie, Applications, Gauthier Villars, Paris 1893. P. Appell, E. Lacour: Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications, Gauthier Villars, Paris 1897.

Linki zewnętrzne

Jacobiego