Hesjan obrzeżony – jest macierzą kwadratową złożoną z pochodnych cząstkowych, która używana jest do rozwiązywania problemu ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych. Pod względem technicznym jest to macierz Hessego poszerzona o dodatkowy wiersz i dodatkową kolumnę.
Przypadek ogólny Mamy daną funkcję:
W celu znalezienia lokalnych ekstremów warunkowych możemy skorzystać z funkcji Lagrange’a:
Warunek przekształcamy do postaci
Następnie tworzymy funkcję
Wtedy hesjan obrzeżony przyjmuje postać:
Definiujemy dla
Uwaga: jest wyznacznikiem podmacierzy o rozmiarach
Wtedy, jeśli w danym punkcie jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego prawdziwe są twierdzenia:
Jeśli to funkcja przyjmuje minimum warunkowe w punkcie
Jeśli , to funkcja przyjmuje maksimum warunkowe w punkcie
Funkcja dwóch zmiennych W przypadku funkcji dwóch zmiennych wystarczy obliczyć wartość jednego wyznacznika:
Funkcja przyjmuje lokalne maksimum warunkowe w punkcie gdy Funkcja przyjmuje lokalne minimum warunkowe w punkcie gdy Sytuacja nie jest rozstrzygnięta, gdy Należy wtedy badać istnienie ekstremum innymi metodami.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Pochodne i różniczki Kategoria:Przykłady macierzy kwadratowych