Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń opisywana przez geometrię euklidesową. Model ten stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznej, jeśli za jej pomocą opisuje się odległości makroskopowe.

Nie nadaje się do opisu przestrzeni fizycznej w odległościach bardzo małych, atomowych, gdy rolę zaczynają odgrywać efekty kwantowe lub w pobliżu masywnych obiektów astronomicznych, jak Słońce, czarne dziury – gdy rolę zaczynają grać efekty zakrzywienia przestrzeni i geometria staje się nieeuklidesowa.

Jednowymiarową przestrzeń euklidesową nazywa się prostą euklidesową, a dwuwymiarową – płaszczyzną euklidesową.

Przestrzenie euklidesowe nazywa się również afinicznymi przestrzeniami euklidesowymi, w odróżnieniu od liniowych przestrzeni euklidesowych, nazywanych też przestrzeniami unitarnymi.

Kluczową własnością przestrzeni euklidesowych jest ich „płaskość”. W geometrii wyróżnia się inne przestrzenie, które nie są euklidesowe. Np. sfera jest przestrzenią nieeuklidesową, gdyż kąty trójkąta na sferze sumują się do wartości większej niż 180 stopni, inaczej niż na płaszczyźnie euklidesowej.

Geometria rozważa przestrzenie wielowymiarowe. Dla danej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jedna przestrzeń euklidesowa o wymiarze n, zaś przestrzeni nieeuklidesowych wymiaru n jest nieskończenie wiele. Te ostatnie można konstruować np. poprzez deformację przestrzeni euklidesowej.

Podejście klasyczne do geometrii

Około 300 p.n.e. grecki matematyk Euklides badał własności geometryczne na płaszczyźnie (wyidealizowanej powierzchni) i w przestrzeni i stworzył podwaliny pod geometrię dwu- i trójwymiarową. Geometrie te nazwano z czasem geometriami euklidesowymi.

Euklides sformułował geometrię następująco:

(1) Niektóre pojęcia przyjął bez definicji, odwołując się do intuicji (są to tzw. pojęcia pierwotne geometrii): punktu, prostej, płaszczyzny, należenia punktu do prostej (zob. incydencja), należenia prostej do płaszczyzny itd. (2) Wszystkie inne pojęcia, takie jak kąt, odcinek, półprosta, okrąg itp., zdefiniował odwołując się do pojęć pierwotnych i aksjomatów.

Euklides przyjął, że punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń mają wymiar równy kolejno: zero, jeden, dwa, trzy. Geometrię można rozszerzać wprowadzając nowe pojęcia pierwotne (obok pojęć punktu, prostej i płaszczyzny) oraz wprowadzając relacje należenia obiektów „mniejszych” w „większych”, przy czym miarą jest tu wymiar obiektu.

Rozwijanie geometrii w powyżej omówiony sposób czasem okazuje się problematyczne – gdyż niekiedy trudno jest spójnie definiować kolejne pojęcia pierwotne i zależności między nimi. Z tego powodu dziś zamiast odwoływać się do niezupełnego systemu Euklidesa korzysta się z algebry i analizy (zobacz geometria syntetyczna, geometria analityczna).

Grupa przekształceń obiektów geometrycznych W geometrii Euklidesa istnieją trzy zasadnicze przekształcenia płaszczyzny: przesunięcie (translacja), polegające na przemieszczeniu wszystkich punktów płaszczyzny o tę samą odległość w ustalonym kierunku, obrót wokół ustalonego punktu wszystkich punktów płaszczyzny, odbicie wokół osi. Dwie figury (tzn. podzbiory płaszczyzny) definiuje się jako równoważne (przystające), jeżeli jedna z nich może być przekształcona w drugą za pomocą przesunięć, obrotów i odbić.

Obroty, przesunięcia i translacje tworzą grupę przekształceń.

Aby uzyskać precyzyjny opis geometryczny powyżej omówionych przekształceń trzeba zdefiniować takie pojęcia jak: długość, odległość, równoległość (przesunięcie równoległe), prostopadłość, kąt, obrót, odbicie.

Współczesna definicja płaszczyzny euklidesowej Współcześnie płaszczyznę euklidesową definiuje się jako dwuwymiarową rzeczywistą przestrzeń afiniczną uzupełnioną o iloczyn skalarny. W takim ujęciu płaszczyzna euklidesowa jest traktowana jako zbiór punktów, których wzajemne zależności da się wyrazić jedynie za pomocą pojęć odległości i kąta. Przy tym: punkty przestrzeni afinicznej odpowiadają punktom płaszczyzny euklidesowej, wektory stowarzyszonej z przestrzenią afiniczną przestrzeni liniowej odpowiadają przesunięciom, iloczyn skalarny wprowadza pojęcia kąta i odległości, które umożliwiają zdefiniowanie obrotu.

Opisanie płaszczyzny euklidesowej w ten sposób sprawia, że rozszerzenie geometrii na dowolne wymiary jest proste: definicje pojęć, wzory i obliczenia nie stają się wówczas znacząco trudniejsze (jedyną trudnością mogą być obroty w wyższych wymiarach oraz wizualizacja takich przestrzeni – trudna nawet dla doświadczonych matematyków).

Dzisiejsza matematyka umożliwia łatwe uogólnienie pojęć odległości i kąta na cztero-, pięcio-, a nawet więcej wymiarowe przestrzenie (nazywane hiperprzestrzeniami).

Często w rozważaniach geometrycznych pomija się mówienie o przestrzeni afinicznej, koncentrując opis na przestrzeni liniowej, która ma ustalony punkt początkowy. Np. przedstawiony dalej model przestrzeni współrzędnych, prowadzący do modelu przestrzeni kartezjańskiej, ma naturalny wybór początku. Jednak przestrzeń afiniczną można zawsze wprowadzić w danej przestrzeni liniowej poprzez pominięcie wskazania jej punktu początkowego.

Dalsza część artykułu poświęcona jest współczesnemu ujęciu geometrii, niezbędnemu przy uogólnianiu geometrii Euklidesa na wyższe wymiary.

Definicja przestrzeni euklidesowej wymiaru n Niech dana będzie przestrzeń liniowa wymiaru nad ciałem liczb rzeczywistych w której określony jest standardowy iloczyn skalarny (nazwany euklidesowym). Przestrzeń afiniczną nazywa się wówczas przestrzenią euklidesową wymiaru

Definicja metryki euklidesowej Skalarami nazywa się elementy ciała skalary będą oznaczane literami pochylonymi, np.

Punktami nazywa się elementy przestrzeni punkty będą oznaczane literami prostymi, np.

Wektorami nazywa się elementy przestrzeni wektorowej wektory będą oznaczane literami półtłustymi, np. lub literami prostymi połączonymi znakiem odejmowania; np. oznacza wektor o początku w punkcie a końcu w punkcie

Znak oznacza iloczyn skalarny wektorów.

Normą euklidesową wektora nazywa się pierwiastek z iloczynu skalarnego tego wektora, tj.

Metryką (odległością) euklidesową punktów przestrzeni nazywa się normę wektora łączącego te punkty, tj.

Metryką między podprzestrzeniami nazywamy najmniejszą odległość między wszystkimi parami punktów wziętych z tych podprzestrzeni, tj.

Konstrukcja przestrzeni współrzędnych mały|250px|Każdy punkt trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jest wyznaczony przez trzy współrzędne.

Niech oznacza ciało liczb rzeczywistych. Dla dowolnej liczby naturalnej przestrzeń wszystkich -elementowych ciągów liczb rzeczywistych jest przestrzenią liniową nad oznaczaną i nazywaną przestrzenią współrzędnych rzeczywistych. Co więcej, jest przestrzenią afiniczną nad samą sobą, dlatego wektory przestrzeni liniowej i punkty przestrzeni afinicznej utożsamia się zwykle w naturalny sposób. Jeżeli tak nie jest, punkty i wektory z należy odróżniać; wówczas punkty zapisuje się zwykle w nawiasach okrągłych, W algebrze liniowej punkty i wektory zapisuje się często w notacji macierzowej, tzn. w postaci wektorów kolumnowych, czyli macierzy postaci oraz lub poziomo, z wykorzystaniem transpozycji, oraz dla odpowiednio punktów i wektorów.,

a wektory w kwadratowych, ,

gdzie wszystkie współrzędne oraz są rzeczywiste.

Dodawanie wektorów, mnożenie przez skalar Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej zdefiniowane jest wzorem

a mnożenie wektora przez skalar wzorem

Dodawanie wektora do punktu Dodawanie wektora do punktu jest działaniem określonym w przestrzeni afinicznej W wyniku tego działania otrzymuje się inny punkt. Działanie to definiuje się je następująco:

Baza przestrzeni liniowej Rn Przestrzeń liniowa ma naturalną bazę nazywaną standardową (lub kanoniczną):

w której dowolny wektor może być zapisany jednoznacznie w postaci

Przestrzeń jest w związku z tym przykładem szerszej klasy przestrzeni z układem współrzędnych kartezjańskich, w których dowolny punkt można jednoznacznie identyfikować z jego współrzędnymi.

Wybór punktu początkowego przestrzeni Przestrzeń afiniczną można przekształcić w przestrzeń liniową poprzez wybór punktu początkowego takiego że:

Z tego powodu współrzędne punktu

pokrywają się ze współrzędnymi odpowiadającego mu wektora

Uwaga: Symbolika punktu różni się – nieznacznie – od symboliki wektora De facto punkt przestrzeni w której wybrano punkt początkowy, można utożsamiać z wektorem, gdyż mają ten sam zbiór współrzędnych.

Przestrzeń z wyżej omówioną strukturą jest prototypem -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej. Istotnie, każda -wymiarowa rzeczywista przestrzeń liniowa jest izomorficzna z Wspomniany izomorfizm nie jest jednak kanoniczny, jego wybór jest równoważny wyborowi bazy w Czasami jednak zamiast w wygodniej jest pracować w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych. Umożliwia to pracę w przestrzeni pozbawionej współrzędnych (tzn. bez wyboru bazy).

Konstrukcja przestrzeni euklidesowej Rn

Przestrzeń euklidesowa jest strukturą bogatszą niż przestrzeń współrzędnych rzeczywistych. Mianowicie, przestrzeń euklidesową jest przestrzenią współrzędnych rzeczywistych wyposażoną dodatkowo w geometrię (geometrię euklidesową) poprzez zdefiniowanie wielkości geometrycznych takich jak: odległości (metryki) między punktami, kąty między prostymi czy wektorami, pola powierzchni, objętości.

Przestrzeń współrzędnych rzeczywistych wraz z wprowadzoną strukturą geometrii euklidesowej nazywana jest przestrzenią kartezjańską lub przestrzenią euklidesową i oznacza się ją symbolami lub .

Przestrzeń kartezjańska jest wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej, gdyż umożliwia zapis twierdzeń geometrycznych poprzez zastąpienie metod geometrycznych działaniami na liczbach rzeczywistych z użyciem metod algebry liniowej czy analizy matematycznej. Taki sposób uprawiania geometrii nazywa się geometrią analityczną.

Definicja iloczynu skalarnego w Rn Aby wprowadzić pojęcia długości i kątów najpierw definiuje się standardowy (euklidesowy) iloczyn skalarny w za pomocą wzoru:

Definicja długości wektora w Rn Iloczyn skalarny jest liczbą rzeczywistą. Co więcej, iloczyn skalarny wektora przez siebie jest zawsze nieujemny, co pozwala na zdefiniowanie długości wektora jako

Długość wektora spełnia własności normy i jest nazywana normą euklidesową wektora na

Definicja metryki w Rn Wreszcie można za pomocą normy zdefiniować na metrykę (funkcję odległości):

nazywaną metryką euklidesową. Może być ona postrzegana jako forma twierdzenia Pitagorasa i stanowi ona przypadek szczególny tzw. odległości Mahalanobisa. Metryka euklidesowa jest również przypadkiem szczególnym (z parametrem ) szerszej klasy metryk wyznaczanych przez tzw. metrykę Minkowskiego.

Definicja kąta w Rn Kąt wypukły tzn. między wektorami oraz definiuje się jako

gdzie oznacza funkcję arcus cosinus.

Przestrzeń kartezjańska a inne przestrzenie Przestrzeń kartezjańska należy do ogólniejszych klas przestrzeni, np. jest unormowaną przestrzeń liniową przestrzenią metryczną przestrzenią unitarną przestrzenią Hilberta rozmaitością riemannowską przestrzenią ortogonalną z dodatnio określoną formą dwuliniową przestrzenią będąca iloczynem kartezjańskim zbiorów (klas) przestrzenią topologiczną

Narzędziem pozwalającym stwierdzić, czy daną przestrzeń ortogonalną można wyposażyć w strukturę euklidesową (zatem czy forma dwuliniowa jest iloczynem skalarnym) jest kryterium Sylvestera.

Przykłady przestrzeni euklidesowych Przestrzenie kartezjańskie proste euklidesowe, w których punkty i wektory utożsamia się z liczbami rzeczywistymi, kąt między dowolnymi dwoma wektorami o początku w zerze jest równy (punkty je wyznaczające leżą po jednej stronie zera) lub (punkty te leżą po przeciwnej stronie zera, tzw. liczby przeciwne), a norma wektora to wartość bezwzględna liczby, zaś metryka to bezwzględna różnica dwóch liczb; płaszczyzny euklidesowe dwuwymiarowa przestrzeń afiniczna nad ciałem liczb rzeczywistymi z określoną strukturą euklidesową