Nilradykał – dla danego pierścienia przemiennego zbiór wszystkich jego elementów nilpotentnych [dostęp 2025-12-04]..
Własności Nilradykał jest ideałem, bo jeśli są takimi elementami pierścienia że i to i Nilradykał jest częścią wspólną wszystkich ideałów pierwszych. Dowód jest oparty na lemacie Kuratowskiego-Zorna. Pierścień składa się wyłącznie z jedności i elementów nilpotentnych wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz tego pierścienia przez jego nilradykał jest ciałem. Pierścień zawiera dokładnie jeden ideał pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego element nieodwracalny jest nilpotentny. Jeżeli każdy ideał pierścienia niezawierający się w nilradykale zawiera element idempotenty, to nilradykał ten jest identyczny z radykałem Jacobsona.
Przykłady W pierścieniu wielomianów zmiennych o współczynnikach z pewnego pierścienia nilradykał jest zbiorem tych wielomianów, których wszystkie współczynniki są elementami nilpotentnymi w W szczególności, twierdzenie to jest prawdziwe dla pierścienia wielomianów jednej zmiennej W pierścieniu reszt modulo 8 jedynym ideałem pierwszym jest Jednocześnie jest on nilradykałem, bo w mamy i W pierścieniu są dwa ideały pierwsze – ideały główne generowane przez reszty 2 i 3. Ich częścią wspólną jest ideał główny który jest jednocześnie nilradykałem. Z drugiej strony, ideał (6) nie jest ideałem pierwszym, bo nie należy do niego ani 2, ani 3, a ich iloczyn jest równy reszcie 6, która należy do (6). W pierścieniu ideałami pierwszymi są ideały główne (2), (3) i (5), a nilradykałem jest (30).
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne Nil ideal , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].
Kategoria:Podzbiory pierścieni