Twierdzenie Sobczyka – twierdzenie teorii przestrzeni Banacha mówiące, że każda izometryczna kopia przestrzeni c0 zanurzona w ośrodkowej przestrzeni Banacha jest obrazem pewnego rzutowania o normie nie przekraczającej 2 (tj. jest 2-komplementarna).
Twierdzenie Sobczyka kontrastuje z wynikiem Ralpha S. Phillipsa mówiącym, że żadna kopia przestrzeni zanurzona w przestrzeni nie ma dopełnienia komplementarnegoR.S. Phillips, On linear transformations, „Trans. Amer. Math. Soc.”, 48 (1940), s. 516–541.. Rezultat ten otrzymał także SobczykA. Sobczyk, Projection of the space (m) on its subspace c0, „Bull. Amer. Math. Soc.”, 47 (1941), s. 938–947..
Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska amerykańskiego matematyka, Andrew Sobczyka, który opublikował jego dowód w 1944 rokuA. Sobczyk, On the extension of linear transformations, „Trans. Amer. Math. Soc.”, 55 (1944), s. 153–169.. Twierdzenie to doczekało się od tego czasu wielu różnych dowodów podanych m.in. przez Aleksandra PełczyńskiegoA. Pełczyński, Projections in certain Banach spaces, „Stud. Math.”, 19 (1960), s. 209–228., Williama A. VeechaW.A. Veech, Short proof of Sobczyk’s theorem, „Proc. Amer. Math. Soc.”, 28 (1971), s. 627–628., Saymoura GoldbergaS. Goldberg, On Sobczyk’s projection theorem, „Amer. Math. Monthly”, 76 (1969), s. 523–526., André MartineauA. Martineau, Propriété de prolongement et de relevement de certaines classes d’applications linéaires et bilinéaires, „Séminaire d’Analyse Fonctionnelle”, 1963–1964, Faculté des Sciences de Montpellier, Montpellier 1964, s. 3–47. Dirka WerneraD. Werner, De nouveau: M-ideaux des espaces d’operateurs compacts, „Séminaire d’Initiation à l’Analyse”, Exp. No. 17, Publ. Math. Univ. Pierre et Marie Curie, 94, Univ. Paris VI, Paris, 1989. czy Félixa Cabello SánchezaF. Cabello Sánchez, Yet another proof of Sobczyk’s theorem. „Methods in Banach space theory”, London Math. Soc. Lecture Notes 337. Cambridge Univ. Press 2006, s. 133–138..
Istnieją także uogólnienia zaproponowane przez V.S. HasanowaV.S. Hasanov, Some universally complemented subspaces in m('Γ'), „Math. Zametki”, 27 (1980), s. 105–108., Aníbala MoltóA. Moltó, On a theorem of Sobczyk, „Bull. Aust. Math. Soc.”, 43 (1991), s. 123–130. czy Félixa Cabello Sáncheza i Jesusa M. CastilloF. Cabello Sáanchez, J.M.F. Castillo, Banach space techniques underpinning a theory for nearly additive mappings, „Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.)”, 404 (2002)..
Dowód Veecha Niech będzie ośrodkową przestrzenią Banacha oraz niech będzie podprzestrzenią izometryczną z Z ośrodkowości wynika metryzowalność w słabej topologii kuli jednostkowej przestrzeni Niech będzie metryką na wyznaczającą słabą topologię.
Utożsamiając z dla każdego odwzorowanie
jest funkcjonałem liniowym na o normie 1. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika istnienie funkcjonałów w również o normie 1, które rozszerzają Niech
Każdy *-słaby punkt skupienia ciągu należy do a zatem
Istnieje zatem taki ciąg w zbiorze że
Z powyższego wynika, że ciąg (mający normę co najwyżej 2) jest *-słabo zbieżny do 0. Ostatecznie, odwzorowanie
jest rzutem na o normie co najwyżej 2.
Przypisy
Bibliografia . F. Cabello Sánchez, J.M.F. Castillo, D. Yost, Sobczyk’s Theorems from A to B, „Extracta Mathematicae” 15, Num. 2 (2000), s. 391–420. .
Sobczyka