Zbiór przestrzeni nazywa się zbiorem nigdziegęstym wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze domknięcia tego zbioru jest puste: .
Inaczej mówiąc zbiór ten nie jest gęsty w żadnym otwartym podzbiorze przestrzeni
Definicja formalna Zbiór jest nigdziegęsty w wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym niepustym zbiorze otwartym można znaleźć niepusty podzbiór otwarty rozłączny z (tj. ).
Własności Rodzina wszystkich nigdziegęstych podzbiorów tworzy właściwy ideał podzbiorów tzn. jeśli to oraz jeśli i to oraz
Przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych nie musi być nigdziegęsta: liczby wymierne są przeliczalną sumą jednoelementowych nigdziegęstych podzbiorów prostej rzeczywistej, a tworzą one gęsty podzbiór prostej. Jeśli i jest nigdziegęsty w (tzn. gdy jest wyposażone w topologię podprzestrzeni), to Załóżmy, że oraz albo jest gęstym podzbiorem lub jest otwarty w Wówczas wtedy i tylko wtedy, gdy
Przykłady Każdy skończony podzbiór prostej jest nigdziegęsty. Klasyczny zbiór Cantora jest nigdziegęstym podzbiorem prostej rzeczywistej. Każdy podzbiór prostej który jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora jest nigdziegęsty (w ). Istnieją nigdziegęste domknięte podzbiory które mają dodatnią miarę Lebesgue’a, np. zbiór Cantora otrzymany przez wyrzucanie na kroku odcinków długości
Uogólnienia s0-zbiory Motywowany przez charakteryzację podaną w lemacie, polski matematyk Edward Marczewski wprowadził w 1935 pojęcie -zbiorów.
Powiemy, że podzbiór prostej rzeczywistej jest -zbiorem Marczewskiego, jeśli dla każdego doskonałego zbioru można znaleźć jego doskonały podzbiór rozłączny z
Zbiory tworzą -ideał podzbiorów
Zbiory A-nigdziegęste W drugiej połowie XX w. wprowadzono wspólne uogólnienie pojęcia zbiorów i zbiorów nigdziegęstych. Schemat tego uogólnienia może być przedstawiony w sposób następujący.
Definicja. Niech będzie pewną rodziną niepustych podzbiorów przestrzeni Powiemy, że zbiór jest -nigdziegęsty jeśli każdy element zawiera podzbiór rozłączny z
Uwaga. Jeśli jest rodziną niepustych otwartych podzbiorów to powyższa definicja określa nigdziegęste podzbiory Jeżeli jest rodziną zbiorów doskonałych, zaś to otrzymujemy z kolei -zbiory Marczewskiego.
W literaturze matematycznej można spotkać też inne przykłady rodzin używanych w tym kontekście, niektóre z tych rodzin są związane z forsingami drzewiastymi.
Zobacz też ideał w teorii mnogości zbiory Marczewskiego zbiór pierwszej kategorii
Linki zewnętrzne Nowhere-dense set , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-16].
Kategoria:Topologiczne własności zbiorów