Zbiór ekstremalnie niemierzalny – patologiczny w sensie miary podzbiór przestrzeni euklidesowej (dowolnego wymiaru). Definiuje się go jako taki zbiór, który sam ani jego dopełnienie nie zawiera podzbioru mierzalnego o dodatniej mierze Lebesgue’a; równoważnie: miara wewnętrzna Lebesgue’a tego zbioru i jego dopełnienia jest równa zeru.
Niemierzalność Zbiór ekstremalnie niemierzalny jest niemierzalny. Istotnie, założenie, że jest mierzalny, pociągałoby mierzalność z definicji zarówno jak i byłyby wtedy zbiorami miary Lebesgue’a zero, co oznaczałoby, że cała przestrzeń euklidesowa byłaby zbiorem miary Lebesgue’a zero.
Przykłady Niech będzie liczbą niewymierną, zaś oraz Relacja zdefiniowana wzorem jest relacją równoważności na prostej. Niech będzie zbiorem zawierającym po jednym elemencie z każdej klasy abstrakcji relacji Wówczas zbiór jest ekstremalnie niemierzalnym podzbiorem prostej. Niech będzie nieciągłą funkcją addytywną. Zbiór dla dowolnych jest wtedy ekstremalnie niemierzalnym podzbiorem przestrzeni
Bibliografia
Kategoria:Teoria miary