Rozkład chi-kwadrat o stopniach swobody, – rozkład zmiennej losowej , definiowany często jako suma kwadratów niezależnych zmiennych losowych ,
każda o standardowym rozkładzie normalnym, tj. . Liczbę nazywa się liczbą stopni swobody rozkładu zmiennej losowej.
W szczególności:
(1) Rozkład chi-kwadrat z 1 stopniem swobody, jest rozkładem zmiennej losowej
gdzie – zmienna losowa o standardowym rozkładzie normalnym, tj. .
(2) Rozkład chi-kwadrat z 2 stopniami swobody, , jest rozkładem zmiennej losowej
gdzie – zmienne losowe o standardowych rozkładach normalnych, tj. oraz . Rozkład ten jest de facto rozkładem wykładniczym.
Rozkład chi-kwadrat ma duże znaczenie w statystyce, między innymi w teście chi-kwadrat, który wziął od niego swoją nazwę.
Uwaga! W większości klasycznych zastosowań stopnie swobody rozkładu chi-kwadrat są liczbami całkowitymi dodatnimi, jednak definicja funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu chi-kwadrat (zob. poniżej) pozostaje matematycznie poprawna dla każdej rzeczywistej wartości . Ponadto rozkład chi-kwadrat jest szczególnym przypadkiem rozkładu gamma (z parametrem kształtu i parametrem skali ). Ponieważ parametry rozkładu gamma mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi, ta sama właściwość dotyczy liczby stopni swobody w rozkładzie chi-kwadrat.
Oznaczenia Jeżeli zmienna losowa ma rozkład chi-kwadrat o stopniach swobody, to piszemy
lub
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu chi-kwadrat o stopniach swobody ma postać
gdzie:
– funkcja gamma,
Gdy parametr jest liczbą naturalną, wartości można stosunkowo łatwo obliczyć (gdy jest dowolną liczbą rzeczywistą, obliczenie funkcji gamma wymagałoby całkowania).
Czynnik w powyższym wzorze jest dla danego stałą liczbą – pełni rolę czynnika normalizującego, tak by całka z funkcji gęstości była równa .
Właściwości rozkładu chi-kwadrat Wartość oczekiwana:
Wariancja:
Kształt:
Dla małych rozkład jest mocno skośny prawostronnie. Dla dużych rozkład przypomina rozkład normalny (wynika to z centralnego twierdzenia granicznego).
Właściwości asymptotyczne Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym rozkład chi-kwadrat, jako suma niezależnych zmiennych losowych o skończonej średniej i wariancji, zbiega do rozkładu normalnego dla dużych . W szczególności dystrybuanta zmiennej losowej , gdzie ma rozkład o stopniach swobody, dąży przy do dystrybuanty rozkładu normalnego . Dla przybliżenie uznaje się z dość dobre. Zbieżność ta jest jednak stosunkowo powolna, z uwagi na fakt, że skośność rozkładu chi-kwadrat wynosi , a kurtoza nadwyżkowa .
Rozkład zmiennej zbiega do normalności znacznie szybciej, ponieważ transformacja logarytmiczna usuwa znaczną część asymetrii. Również inne funkcje zmiennej o rozkładzie chi-kwadrat szybciej zbliżają się do rozkładu normalnego. Na przykład:
Jeśli , to ma w przybliżeniu rozkład normalny o średniej i wariancji równej 1 (wynik podany przez R. A. Fishera, 1922). Jeśli , to ma w przybliżeniu rozkład normalny o średniej i wariancji . Jest to tzw. transformacja Wilsona–Hilferty’ego.
Interpretacja geometryczna Rozważmy niezależnych zmiennych losowych, każda o standardowym rozkładzie normalnym . Można je traktować jako współrzędne losowego punktu (wektora) w przestrzeni : . Zmienne są niezależne i mają identyczne parametry; żaden kierunek nie jest faworyzowany – wszystkie kierunki są równie prawdopodobne. Odległość euklidesowa punktu od zera dana jest wzorem Jej kwadrat wynosi Zmienna losowa opisuje kwadrat odległości od zera punktu wylosowanego z wielowymiarowego standardyzowanego rozkładu normalnego. Rozkład chi-kwadrat z stopniami swobody, , jest rozkładem tej zmiennej losowej: mówi on, z jakim prawdopodobieństwem losowy punkt w znajduje się w danej odległości od środka układu współrzędnych, określonej z wykorzystaniem jej kwadratu ().
Średnia wartość (wartość oczekiwana) rozkładu chi-kwadrat jest równa liczbie stopni swobody (). Geometrycznie oznacza to, że im więcej jest wymiarów (swobody ruchu), tym dalej od środka układu „ucieka”, średnio rzecz biorąc, losowy punkt.
„Utrata” stopni swobody może być interpretowana jako redukcja wymiaru przestrzeni, w której punkt może się swobodnie poruszać po tym, gdy na punkt nałożono ograniczenia (np. gdy jego współrzędne muszą sumować się do konkretnej wartości). Matematycznie odpowiada rzutowaniu punktu na podprzestrzeń o niższym wymiarze. Jeśli na współrzędne nałożymy liniowych ograniczeń, statystyka X opisuje wówczas kwadrat odległości rzutu tego punktu na podprzestrzeń o wymiarze . Zgodnie z twierdzeniem Cochrana, taki kwadrat normy nadal posiada rozkład chi-kwadrat, ale o zredukowanej liczbie stopni swobody.
Zobacz też
funkcje zmiennych losowych (pokazano tam, jak liczy się kwadraty rozkładów oraz ich sumy) rozkład chi test chi-kwadrat
Przypisy
Bibliografia
Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, str. 43-44. Granino A. Korn, Theresa M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983, str. 512 (Tablica F.17. Rozkład ). Lech. T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str. 176-177. Dawid A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, str. 224-227.
Linki zewnętrzne
Tablice rozkładów chi-kwadrat są w Wikiźródłach.
Chi-squared distribution , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Rozkłady prawdopodobieństwa