Twierdzenie o zbieżności średnich – twierdzenie analizy matematycznej pozwalające stwierdzić zbieżność pewnych ciągów i wyznaczyć ich granice.
Twierdzenie Jeśli ciąg ma granicę (właściwą lub niewłaściwą), to granica ciągu średnich arytmetycznych istnieje i jest jej równa.
Jeśli ponadto dla każdego n, to również ciągi średnich geometrycznych i harmonicznych mają tę samą granicę
Dowód Korzystając z twierdzenia Stolza dla ciągów i otrzymujemy:
I. II.
Dla średnich geometrycznych:
Czwarta równość wynika z udowodnionego wyżej twierdzenia, a pozostałe z własności funkcji wykładniczej i logarytmu, w szczególności ich ciągłości.
Dla średnich harmonicznych:
Druga równość wynika z twierdzenia dla średnich arytmetycznych.
Zastosowania Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności, bo n jest taki.
O Kategoria:Kryteria zbieżności