Diagram Arganda jest sposobem geometrycznego przedstawienia liczby zespolonej na płaszczyźnie. Liczbie zespolonej odpowiada w nim punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie. Początek układu współrzędnych odpowiada liczbie zero, a oś odciętych – zbiorowi liczb rzeczywistych.
Historia Diagram Arganda został po raz pierwszy zastosowany przez matematyka duńskiego Caspara Wessela w 1797 roku, lecz jego dzieło zostało odkryte dopiero po upływie 100 lat, w 1897 roku, gdy Duńska Akademia Nauk wydała jego francuski przekład. W roku 1806 Szwajcar Jean-Robert Argand opublikował pracę Próba pewnego sposobu przedstawienia wielkości urojonych w konstrukcjach geometrycznych, w której zinterpretował same liczby i oba działania na nich (dodawanie i mnożenie). Książka Arganda, wydana anonimowo, stała się znana po publikacji jej przez Josepha Gergonne’a w Rocznikach matematyki czystej i stosowanej. Tamże została opublikowana żywa dyskusja na temat interpretacji wielkości urojonych. Pierwszym matematykiem, który posługiwał się diagramem we właściwy sposób był Carl Friedrich Gauss w dysertacji z 1799 roku.
Praca Wessela Wessel nie zajmował się subtelnościami w rodzaju pytań o równość odcinków skierowanych (wektorów) na płaszczyźnie, a dla dodawania i mnożenia sprawdzał tylko poszczególne prawa rachunku. Wektor łączący początek układu współrzędnych z punktem oznaczał przez i znalazł następujące wyniki:
thumb|300px|Jednostki podstawowe Wessela
{|border="2" cellpadding="8" align="left" style="text-align:center;" |- !style="background:#efefef;"| !style="background:#efefef;"| !style="background:#efefef;"| !style="background:#efefef;"| !style="background:#efefef;"| |- !style="background:#efefef;"|
!style="background:#efefef;"|
!style="background:#efefef;"|
!style="background:#efefef;"|
Na tej podstawie wnioskował, że Następnie odcinkowi skierowanemu przyporządkował liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej Na tak określonych liczbach zespolonych rozważał wszystkie działania i udowodnił wzór de Moivre’a (również dla wykładnika ułamkowego) oraz rozwiązał wiele zadań o trójkątach sferycznych.
Diagram Arganda – ujęcie formalne Wystarczy określić mnożenie.
Ponieważ
więc
czyli liczbę zespoloną można identyfikować z liczbą rzeczywistą i wtedy
Zatem i
Wtedy
Diagram Arganda w ujęciu H.S.M. Coxetera thumb|300px|Suma liczb zespolonych Punkty na płaszczyźnie dodaje się tak, jak odpowiadające im wektory wychodzące z początku układu (czyli zera):
Innymi słowy, aby dodać stosuje się przesunięcie przekształcające punkt w punkt
thumb|300px|Mnożenie liczby zespolonej przez liczbę całkowitą Mnożenie punktu przez liczbę rzeczywistą jest jednokładnością. Na przykład:
Mnożenie przez jest półobrotem wokół punktu Dlatego mnożenie przez pierwiastek kwadratowy z jest takim przekształceniem, którego kwadrat (czyli złożenie przekształcenia z samym sobą) jest półobrotem wokół punktu czyli ćwierćobrót wokół punktu (czyli obrót o kąt prosty). thumb|center|250px|Mnożenie liczb zespolonych; współrzędne kartezjańskie thumb|250px|Mnożenie liczb zespolonych; współrzędne biegunowe
Wobec tego mnożenie przez dowolną liczbę zespoloną powinno być przekształceniem, dla którego punkt jest punktem stałym i które zawiera zarówno jednokładności o środku w jak i obroty dokoła jako przypadki szczególne. Mnożenie dowolnego punktu przez ustalony punkt definiuje się jako podobieństwo spiralne o środku które przeprowadza punkt w punkt . Jeżeli punkty i mają współrzędne biegunowe odpowiednio i czyli
Wówczas podobieństwo spiralne, w którym mnoży się przez i dodaje do przekształca współrzędne
na współrzędne
Stąd wzór
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Liczby zespolone