Przestrzeń topologiczna ośrodkowa – przestrzeń topologiczna zawierająca podzbiór, który jest przeliczalny i gęsty. Podzbiór ten nazywany jest ośrodkiem.
Ten sam zbiór może tworzyć przestrzeń ośrodkową lub nie – zależy to od doboru topologii
Np. zbiór liczb rzeczywistych tworzy przestrzenią ośrodkową z topologią generowaną przez metrykę euklidesową – ośrodkiem jest zbiór liczb wymiernych , nie tworzy przestrzeni ośrodkowej z topologią dyskretną (każdy punkt w tej topologii jest zbiorem otwartym). Ośrodkowość nie jest więc cechą samego zbioru, ale cechą pary (zbiór , topologia ).
Przykłady i kontrprzykłady
Prosta rzeczywista jest przestrzenią ośrodkową. Jej przeliczalnym i gęstym podzbiorem jest zbiór liczb wymiernych . Przestrzenie euklidesowe są ośrodkowe. Zbiorem gęstym jest (zbiór punktów o wszystkich współrzędnych wymiernych), który jest przeliczalny.
Kontrprzykłady
Przestrzeń Przestrzeń wszystkich ciągów ograniczonych z normą supremum nie jest ośrodkowa. Można w niej wskazać nieprzeliczalnie wiele punktów (np. ciągi zero-jedynkowe), z których każdy leży w odległości 1 od pozostałych, przez co żaden zbiór przeliczalny nie może być gęsty. Przestrzeń dyskretna nieprzeliczalna. Jeśli na zbiorze nieprzeliczalnym zdefiniujemy topologię dyskretną (gdzie każdy punkt jest zbiorem otwartym), jedynym zbiorem gęstym jest cała ta przestrzeń. Ponieważ jest ona nieprzeliczalna, przestrzeń nie jest ośrodkowa.
Definicja bazy Def. Bazą przestrzeni topologicznej nazywamy każdą rodziną zbiorów otwartych o tej własności, że dowolny zbiór otwarty niepusty jest sumą pewnej mnogości zbiorów tej rodziny.
Własności Tw. 1 Przestrzeń topologiczna o przeliczalnej bazie (tzn. przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności) jest ośrodkowa.
Uwaga: Z drugiej strony prosta Sorgenfreya jest przykładem przestrzeni topologicznej ośrodkowej, która nie ma przeliczalnej bazy.
Tw. 2 Przestrzeń metryczna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy posiada przeliczalną bazę.
Tw. 3 Podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest ośrodkowa.
Uwaga: Założenie metryzowalności jest istotne, gdyż np. produkt dwóch prostych Sorgenfreya jest przestrzenią ośrodkową posiadającą podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, a więc nieośrodkową.
Tw. 4 Przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa.
Tw. 5 Iloczyn kartezjański skończenie wielu przestrzeni ośrodkowych jest przestrzenią ośrodkową.
Np. Ponieważ przestrzeń rzeczywista jest ośrodkowa, to w szczególności jest przestrzenią ośrodkową. Zbiorem gęstym w jest (zbiór punktów o wszystkich współrzędnych wymiernych), który jest przeliczalny.
Tw. 6 Obrazem ciągłym przestrzeni ośrodkowej jest przestrzeń ośrodkowa.
Def. Ośrodkowa przestrzeń Hausdorffa to przestrzeń topologiczna, która spełnia jednocześnie dwa warunki: jest ośrodkowa (ma przeliczalny zbiór gęsty) oraz jest przestrzenią Hausdorffa.
Tw. 7 Ośrodkowa przestrzeń Hausdorffa ma moc nie większą niż gdzie to continuum.
Uwaga: Fakt ten nie jest prawdziwy dla przestrzeni spełniających aksjomat Istotnie niech będzie dowolnym zbiorem nieskończonym, na którym rozważamy topologię składającą się ze zbiorów będących dopełnieniami zbiorów skończonych, tzn. jest skończony Wówczas jest przestrzenią w której ośrodkiem jest dowolny zbiór przeliczalny nieskończony. To pokazuje, że istnieją ośrodkowe przestrzenie dowolnej mocy.
Zobacz też przestrzeń spójna przestrzeń topologiczna przestrzeń topologicznie zupełna przestrzeń zwarta
Przypisy
Bibliografia
Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012. Pytlik, Analiza funkcjonalna, Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 2000; dostęp online tutaj [dostęp od 2026.09.01]
Linki zewnętrzne Separable space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-16].
Kategoria:Własności przestrzeni topologicznych