Niech będzie ciągiem grup oraz – ciągiem homomorfizmów:
Ten ciąg grup i homomorfizmów nazywamy ciągiem dokładnym, jeśli obraz każdego homomorfizmu jest równy jądru następnego homomorfizmu: А.А. Кириллов, op. cit., s. 21.,
gdzie:
jest elementem neutralnym grupy
Ciągi dokładne określa się także dla innych niż grupy struktur algebraicznych, na przykład dla modułów, jeśli są one grupami ze względu na jedno z działańS. Balcerzyk, T. Józefiak, op. cit., s. 23..
Kategorie abelowe Ciąg
obiektów kategorii abelowej i morfizmów takich że
jest nazywany ciągiem dokładnymМатематическая энциклопедия, op. cit., s. 410..
Przykłady Niech oznacza grupę trywialną (składającą się tylko z elementu neutralnego). Wtedy dokładność ciągu: oznacza, że jest monomorfizmem, bo gdzie 1 jest elementem neutralnym grupy oznacza, że jest epimorfizmem, bo oznacza, że jest izomorfizmem, co wynika z dwóch poprzednich przykładów. Niech grupa zawiera nietrywialną podgrupę normalną Wtedy ciąg dokładny
nazywa się rozszerzeniem grupy za pomocą grupy Badanie rozszerzeń grupy sprowadza się do badania grup: podgrupy oraz faktorgrupy А.А. Кириллов, op. cit., s. 26.. Kompleks łańcuchowy
jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego spełniona jest równość
to znaczy, gdy dla wszystkich zachodzi równość
Zatem homologie można interpretować jako miarę odchylenia kompleksu od dokładności. Kompleks dokładny nazywany jest kompleksem acyklicznym (nie ma w nim żadnych cykli poza brzegami)A. Dold (tłum. ros.), op. cit., s. 28..
Dla przekształcenia łańcuchowego kategorii kompleksy stożek i zawieszenie ze sobą związane krótkim ciągiem dokładnym:
gdzie i
Zobacz też ciąg spektralny
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. Exact sequence , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].
D Kategoria:Teoria pierścieni Kategoria:Teoria modułów Kategoria:Teoria kategorii Kategoria:Algebra homologiczna