Grupą Coxetera – grupa z wyróżnionym układem generatorów którego elementy spełniają następujący układ relacji:
gdzie: czyli dla dowolnego
dla przy czym dla nie istnieje relacja między a .
Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Harolda Coxetera. Grupy tego rodzaju są rozważane w teorii grup dyskretnych jako uogólnienie grup odbić generowanych przez odbicia względem hiperpowierzchni w przestrzeni euklidesowej. Każda grupa odbić jest grupą Coxetera, jeśli jej generatorami są odbicia względem hiperpowierzchni ograniczających wielościan fundamentalny.
Macierz gdzie nazywa się macierzą Coxetera danej grupy Coxetera. Macierz ta i sama grupa może być zadana za pomocą grafu Coxetera – grafu o wierzchołkach w którym wierzchołki i są połączone -krotną krawędzią, jeśli (w szczególności nie są w ogóle połączone, jeśli ) i są połączone grubą krawędzią, jeśli Czasem zamiast łączyć wierzchołki grafu krawędziami wielokrotnymi, łączy się je jedną krawędzią ze znakiem nad nią.
Własności Jeśli to mnożenie przez jest przemienne. jest rzędem elementu
Przykłady Każda grupa generowana przez dwa elementy rzędu 2 jest grupą Coxetera o macierzy postaci Jej graf Coxetera: center|100px
Grupa symetryczna jest grupą Coxetera względem generatorów dla ( jest transpozycją elementów i ). Jej graf Coxetera: center|250px
Macierzą Coxetera grupy jest:
Grupa jest grupą Coxetera względem generatorów:
Jej graf Coxetera: center|150px
Skończone grupy Coxetera H.S.M. Coxeter w roku 1934 znalazł wszystkie grupy odbić w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej i wykazał, że są one grupami CoxeteraCoxeter, Discrete groups generated by reflections, op. cit.. W następnej pracy wykazał, że każda skończona grupa Coxetera jest izomorficzna z pewną grupą odbić w której elementy mają wspólny punkt stały. W ten sposób otrzymał klasyfikację grup skończonych Coxetera.
thumb|center|600px|Grafy (diagramy) Coxetera skończonych grup Coxetera (tłum. ros. 1972), s. 241..
Nieskończone grupy Coxetera Wśród nieskończonych grup Coxetera można wyróżnić grupy paraboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić w przestrzeni euklidesowej i grupy hiperboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić przestrzeni hiperbolicznej elementy których nie mają wspólnej hiperpłaszczyzny niezmienniczej o wymiarze mniejszym od n (w przypadku hiperbolicznym za hiperpłaszczyznę należy uważać również punkt w nieskończonościМатематическая энциклопедия, op. cit., s. 945.).
Wszystkie paraboliczne grupy Coxetera zostały znalezione przez H.S.M. Coxetera, który udowodnił, że są to afiniczne grupy Weyla z teorii półprostych grup Liego.
thumb|center|320px|Diagramy Coxetera afinicznych grup Weyla
Związek z wielościanami Jeśli przestrzeń jest n-wymiarową sferą, przestrzenią euklidesową lub przestrzenią hiperboliczną, to grupa odbić jest generowana przez odbicia względem hiperpowierzchni ograniczających wielościan fundamentalny tej grupy. Względem tego układu generatorów grupa odbić jest grupą Coxetera o relacjach zdefiniowanych następująco: jeśli ściany i przylegają do siebie i kąt między nimi jest równy to gdzie jeśli ściany i nie przylegają do siebie, to
Wielościany fundamentalne grup Coxetera nazywają się wielościanami Coxetera. Wielościanami Coxetera można wypełnić przestrzeń. Mają więc związek z parkietażami i krystalografią.
Przykłady Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej: 2n-komórka foremna (n + 1)-komórka (n-sympleks) Wielościany Coxetera w n-wymiarowej sferze: n-wymiarowy sympleks foremny o boku Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej: k-wielokąt foremny o kącie w przestrzeni 2-wymiarowej, dwunastościan foremny (dodekaedr) prostokątny w przestrzeni 3-wymiarowej, 120-ścian foremny prostokątny w przestrzeni 4-wymiarowej.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-23]. Coxeter group , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
C Kategoria:Geometria