Moduł M nad pierścieniem R nazywamy modułem z gradacją lub g-modułem, lub R-g-modułem, jeśli istnieje taki ciąg podmodułów modułu M, że Ciąg nazywamy gradacją modułu M.
Homomorfizm g-modułów Niech będą dwoma g-modułami, a i Homomorfizmem stopnia r tych g-modułów nazywamy taki R-homomorfizm że dla każdego nBalcerzyk, op. cit., s. 394..
Stąd wynika, że homomorfizm g-modułów jest wyznaczony przez ciąg R-homomorfizmów Na odwrót, każdy ciąg R-homomorfizmów wyznacza homomorfizm stopnia r g-modułów.
Własności Złożenie g-homomorfizmów g-modułów jest g-homomorfizmem, którego stopień jest sumą stopni homomorfizmów składanych. Homomorfizm tożsamościowy jest g-homomorfizmem stopnia 0.
Podmoduły Podmodułem g-modułu (nad pierścieniem R) o gradacji nazywamy taki podmoduł R-modułu z gradacją że
Wynika stąd, że ciąg jest gradacją g-modułu Balcerzyk, op. cit., s. 395..
Własności Jeśli i są podmodułami g-modułu to jest również podmodułem g-modułu M. Jeśli i są podmodułami g-modułu to jest również podmodułem g-modułu M.
Gradacja indukowana Załóżmy, że jest podmodułem g-modułu Gradację w module ilorazowym zdefiniowaną następująco:
nazywamy gradacją indukowaną przez gradację modułu .
Przypisy
Kategoria:Algebra homologiczna