thumb|400px|Zbiór półprostych o początku w punkcie można podzielić na dwa podzbiory: zbiór półprostych przecinających daną prostą i zbiór półprostych nieprzecinających tej prostej. Półproste równoległe oddzielają te dwa zbiory od siebie i nie przecinają prostej Koncepcja równoległości jest oparta na następującym twierdzeniu geometrii absolutnej: Dla każdego punktu i każdej prostej nieprzechodzącej przez punkt istnieją dokładnie dwa promienie na płaszczyźnie wychodzące z punktu nieprzecinające prostej i oddzielające wszystkie promienie wychodzące z punktu przecinające prostą od wszystkich pozostałych promieni, nieprzecinających prostej W geometrii absolutnej dowodzi się, że suma kątów trójkąta jest nie większa od 180°. Wynika stąd, że jeśli suma kątów między odcinkiem a promieniami poprowadzonymi z jego końców jest równa 180° (na rysunku obok promienie i ), to promień nie może przeciąć prostej Zatem zbiór promieni nieprzecinających prostej jest niepusty..

O tych dwóch wyżej wspomnianych promieniach mówi się, że są równoległe do prostej Coxeter, op. cit., s. 207.. Półproste te nie przecinają prostej W sytuacji rysunku obok jeden z promieni jest równoległy do prostej w kierunku promienia Promienie mają ten sam kierunek, jeśli leżą w tej samej półpłaszczyźnie wyznaczonej przez prostą przechodzącą przez ich początki., a drugi jest równoległy w kierunku promienia Wynika stąd, że równoległość promienia do prostej (jest w tej definicji pewna asymetria) można przenieść na równoległość promieni: Promień jest równoległy do promienia jeśli jest równoległy do prostej wyznaczonej przez w kierunku lub jeśli jeden z tych promieni jest zawarty w drugim.

W definicji tej brakuje dwóch cech równoległości, które są bardzo ważne: symetrii i przechodniości. Cechy te można udowodnić metodami geometrii absolutnej: Jeśli promień jest równoległy do promienia to promień jest równoległy do promienia Coxeter H.S.M., op. cit., s. 287.. Jeśli promień jest równoległy do promienia a promień jest równoległy do promienia to promień jest równoległy do promienia Coxeter H.S.M., op. cit., s. 288..

Drugie z tych twierdzeń można udowodnić metodami geometrii uporządkowaniaGeometria uporządkowania jest częścią geometrii absolutnej. Coxeter H.S.M., op. cit., s. 193–208.. Zatem równoległość promieni jest relacją równoważności.

Własność równoległości można też wypowiedzieć dla dwóch prostych. Wynika ona z następującego twierdzenia Gaussa: Równoległość promienia i prostej zachowuje się, gdy zmienimy położenie początku promienia przez odjęcie lub dodanie jakiegokolwiek odcinkaCoxeter H.S.M., op. cit., s. 207–208.Gauss C.F., op. cit., s. 203..

Chodzi tu o odjęcie lub dodanie do promienia odcinka leżącego na prostej wyznaczonej przez promień o jednym z końców w początku promienia i obu końcach leżących po tej samej stronie prostej. Wynika stąd następująca definicja: Dwie proste są równoległe jeśli jedna z nich zawiera promień równoległy do drugiej.

Różne wersje hiperbolicznego aksjomatu równoległości thumb|400px|Równoległe do prostej w modelu Poincarégo geometrii hiperbolicznej (prosta – półokrąg prostopadły do absolutu) thumb|400px|Równoległe do prostej w modelu Poincarégo geometrii hiperbolicznej (prosta – prostopadła do absolutu) Dla pewnego punktu i pewnej prostej nieprzechodzącej przez istnieją co najmniej dwie proste równoległe do przechodzące przez Coxeter H.S.M., op. cit., s. 310.. Dla każdego punktu i każdej prostej nieprzechodzącej przez istnieją co najmniej dwie proste równoległe do przechodzące przez Istnieją dwa takie promienie równoległe, dla których suma kątów między nimi i odcinkiem łączącym ich początki jest mniejsza od 180°. Dla każdych dwóch promieni równoległych, suma kątów między nimi i odcinkiem łączącym ich początki jest mniejsza od 180°.

Twierdzenia równoważne hiperbolicznemu aksjomatowi równoległości Istnieje trójkąt, którego suma kątów jest mniejsza od 180°. Suma kątów każdego trójkąta jest mniejsza od 180°Иовлев Н.Н., op. cit., s. 13–17.. Jeśli dwa’trójkąty są podobne, to są one przystająceKostin, op. cit., s. 219.. Istnieje trójkąt, na którym nie można opisać okręguИовлев Н.Н., op. cit., s. 20.. Nie w każdym trójkącie wysokości przecinają się w jednym punkcie. Punkty jednej z dwóch prostych równoległych nie są w stałej odległości od drugiej z nich. Ekwidystanta jest krzywą niebędącą prostą. Żadne trzy punkty ekwidystanty nie leżą na jednej prostej. Odległość punktów jednej z dwóch prostych równoległych nie są w ograniczonej odległości od drugiej z nichИовлев Н.Н., op. cit., s. 21.. Prostopadła i pochyła do danej prostej nie zawsze się przecinają. Nie przez każdy punkt wnętrza kąta można poprowadzić prostą przecinającą oba ramiona kąta. Suma kątów trójkąta nie jest stałaKostin, op. cit., s. 220–221.. Dwa trójkąty są przystające, jeśli ich odpowiednie kąty są równeKostin, op. cit., s. 221–222..

Z przechodniości relacji równoległości prostych, tzn. z warunku, że jeśli dwie proste są równoległe do trzeciej, to są równoległe, wynika postulat EuklidesaDowód. Załóżmy, że ℓ, p, q są liniami prostymi, ℓ∥p, p∥q i ℓ∦q. Wówczas ℓ i q mają punkt wspólny A, a więc istnieją dwie różne proste równoległe do p przechodzące przez A, co znaczy, że płaszczyzna jest hiperboliczna..

Własności prostych i promieni równoległych thumb|center|400px|Dowód twierdzenia Janosa Bolyai. Twierdzenie J. Bolyai’a; Coxeter, op. cit., s. 289; sformułowanie oryginalne dotyczy prostych równoległych.: Jeśli dwa promienie równoległe uzna się za przecinające się w nieskończoności, to kąt między nimi można uznać za równy zero. Niech punktem przecięcia w nieskończoności promieni równoległych będzie punkt Niech będzie takim ciągiem punktów, że Zatem jest równoramienny. Wtedy z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta kąt jest mniejszy od połowy kąta Jeśli to czyli a Dlatego można przyjąć, że Inny dowód w Coxeter, op. cit., s. 289.. Odległości punktów jednej z prostych równoległych od drugiej maleją do zera w kierunku równoległości i nieograniczenie rosną w kierunku przeciwnymZapewne z powodu obu powyższych własności J. Bolyai w swoim Appendixie nazywał proste równoległe asymptotami.Широков, op. cit., s. 29.. Równoległość promieni jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią na zbiorze wszystkich promieni geometrii hiperbolicznej. Jest to zatem relacja równoważności.

Zobacz też czworokąt Saccheriego defekt trójkąta kąt równoległości model Poincarégo prosta pochyła prosta zagradzająca kąt proste nadrównoległe punkt w nieskończoności w geometrii hiperbolicznej trójkąt asymptotyczny trójkąt podwójnie asymptotyczny trójkąt potrójnie asymptotyczny

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Geometria hiperboliczna Kategoria:Geometria absolutna