Element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy najmniejszym, jeśli jest on mniejszy (lub równy) od każdego elementu zbioru Marek Zaionc, Jakub Kozik i Marcin Kozik, Logika i teoria mnogości, wykład 10. Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości, wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2025-01-20].:
Podobnie, element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy największym, jeśli jest on większy (lub równy) od każdego elementu zbioru:
Z definicji wynika, że zarówno element największy, jak i najmniejszy są porównywalne z każdym elementem zbioru P.
Przykłady Jednym z typowych przykładów częściowego porządku jest relacja zawierania się zbiorów w dowolnej przestrzeni topologicznej. W tym uporządkowaniu istnieje zarówno element najmniejszy, jak i największy. Elementem najmniejszym jest zbiór pusty, gdyż zbiór pusty zawiera się w każdym podzbiorze przestrzeni. Elementem największym jest cała przestrzeń, gdyż każdy podzbiór przestrzeni zawiera się w tej przestrzeni.
Własności Nie każdy zbiór częściowo uporządkowany ma element najmniejszy i największy. Np. zbiór liczb naturalnych (bez zera) częściowo uporządkowany relacją podzielności – każda liczba jest „większa” od swych dzielników, tzn. m jest „mniejsze” od n jeśli jest dzielnikiem liczby n: – ma element najmniejszy (jest nim liczba 1, która dzieli każdą liczbę naturalną), ale nie ma największego (nie istnieje liczba naturalna, która dzieliłaby się przez każdą inną)Podobnie zdefiniowany porządek na zbiorze liczb naturalnych z zerem ma tak samo element najmniejszy 1, ale także element największy 0, bowiem zero jest podzielna przez każdą liczbę naturalną.. Z drugiej strony zbiór liczb uporządkowany według tej samej reguły nie ma elementu najmniejszego (brak w nim liczby, przez którą dzieliłaby się liczba 2 i liczba 3), za to ma element największy (jest nim liczba 24, która dzieli się przez każdą z pozostałych liczb zbioru G).
Nawet porządek liniowy nie gwarantuje istnienia elementów najmniejszego i największego, jeśli zbiór jest nieskończony: zbiór liczb z naturalnym porządkiem ma oba te elementy: najmniejszym jest 1, największym 3; zbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy (jest nim 1), ale nie ma największego; zbiór liczb całkowitych nie ma ani elementu najmniejszego ani największego; aczkolwiek nieskończona moc zbioru nie przesądza o braku elementu najmniejszego lub największego: zbiór liczb wymiernych w przedziale domkniętym ma element najmniejszy (zero) i największy (jedność), ale zbiory liczb wymiernych w przedziale otwartym o krańcach wymiernych oraz w przedziale o krańcach niewymiernych elementu najmniejszego ani największego nie mają.
Zobacz też elementy minimalny i maksymalny
Uwagi
Przypisy
Kategoria:Porządki