Krzywa B-sklejana () – jedna z najczęściej stosowanych reprezentacji parametrycznych krzywych sklejanych. Angielska nazwa wzięła się z żargonu kreślarzy i odnosiła do długiej elastycznej metalowej taśmy, której używano do rysowania samolotów, samochodów, statków itp. Zawieszając odpowiednio dobrane obciążniki, można było uzyskać krzywą o ciągłości geometrycznej drugiego rodzaju. Odpowiednikiem matematycznym jest krzywa B-sklejana trzeciego stopnia. Angielska nazwa krzywych B-sklejanych – – jest skrótem od , co znaczy „funkcja bazowa łącznicy”.

Podstawy matematyczne thumb|350px|Przykładowa krzywa 3. stopnia, wraz z punktami kontrolnymi. Kolorami czerwonym i niebieskim zaznaczono składowe krzywe wielomianowe Krzywą B-sklejaną charakteryzują dwa parametry: – stopień sklejanych krzywych wielomianowych (w praktyce zwykle niewielki, wynosi 2, 3 lub 4, rzadziej więcej), – liczba podprzedziałów, na których definiowane są kolejne części krzywej.

Krzywe B-sklejane, podobnie jak inne krzywe parametryczne używane w grafice komputerowej, są wyznaczane przez ciąg punktów kontrolnych Krzywa taka jest reprezentowana przez krzywych wielomianowych stopnia (mówi się wówczas, że krzywa B-sklejana jest -tego stopnia), które łączone są z określoną ciągłością parametryczna, zazwyczaj

Krzywa jest określona na przedziale natomiast ciąg wartości dzieli ten przedział na podprzedziały, na których zdefiniowane są poszczególne krzywe wielomianowe. Wartości są nazywane węzłami krzywej (ang. ) i spełniają one zależność tzn. jest to niemalejący ciąg, a więc węzły mogą się powtarzać; najczęściej zakłada się także, że i

Jeśli węzły dzielą przedział na równe części, wówczas krzywa w j. ang jest określana jako , co można tłumaczyć jako (krzywa) jednorodna/równomierna. Jeśli węzły dzielą przedział nierównomiernie, to krzywa w języku angielskim jest nazywana (np. ), czyli krzywa jest niejednorodna/nierównomierna.

thumb|350px|Otoczki wypukłe punktów kontrolnych krzywych wielomianowych Dowolny punkt na krzywej B-sklejanej jest dany równaniem, które wynika z algorytmu de Boora:

gdzie: – liczba węzłów, – stopień krzywej, – punkty kontrolne, – unormowana funkcja B-sklejana stopnia .

Wszystkie krzywe składowe leżą w otoczce wypukłej swoich punktów kontrolnych, stąd cała krzywa B-sklejana leży w obszarze będącym sumą otoczek.

Jeśli krzywa jest reprezentowana we współrzędnych jednorodnych, a więc punkty we współrzędnych kartezjańskich opisują funkcje wymierne, wówczas mamy do czynienia z wymiernymi krzywymi B-sklejanymi. Jeśli dodatkowo dopuszczony jest nierównomierny rozkład węzłów, to takie krzywe nazywane są krzywymi NURBS.

Unormowana funkcja B-sklejana jest przedstawiana za pomocą ilorazu różnicowego obciętych funkcji potęgowych:

– obcięta funkcja potęgowa

Jest to jednak dość skomplikowana i nieporęczna forma, toteż w praktyce stosuje się równoważny, rekurencyjny wzór Mansfielda-de Boora-Coxa, będący podstawą algorytmu de Boora:

Ponieważ węzły mogą się powtarzać, więc mianowniki w powyższym wzorze mogą się zerować, jednak zgodnie z definicją funkcji B-sklejanej w przypadku gdy przedział jest zerowy, to również wartość funkcji jest równa zero, zatem jeden ze składników sumy znika i nie jest w ogóle rozpatrywany.

Przykłady krzywych B-sklejanych Na rysunku poniżej przedstawiono przykładowe jednorodne krzywe B-sklejane różnych stopni (węzły oznaczono czarnymi kropkami) opisane tą samą łamaną kontrolną oraz wykresy funkcji bazowych (na wykresach kolorami zaznaczono dziedziny poszczególnych krzywych). Jeśli wówczas „sklejane” są odcinki, identyczne z łamaną kontrolną krzywej. Dla krzywa B-sklejana jest przybliżana kilkoma kawałkami krzywych wielomianowych odpowiednich stopni, połączonych z ciągłością

center|640px

Konstrukcja geometryczna krzywej B-sklejanej trzeciego stopnia Krzywa B-sklejana jest reprezentowana przez krzywych Béziera, jednak punkty kontrolne nie wystarczają do właściwego wyznaczenia takiej liczby krzywych. Trzeba znaleźć dodatkowe punkty, które pozwolą skonstruować wszystkie krzywe Béziera 3. stopnia w taki sposób, by była zachowana ciągłość parametryczna tzn. aby: krańcowe punkty kontrolne dwóch kolejnych krzywych Béziera pokrywały się, pierwsze pochodne obu krzywych były w punkcie połączenia równe, drugie pochodne obu krzywych były w punkcie połączenia równe.

Pierwszy warunek ciągłości jest zapewniony dzięki temu, że końce krzywych są jednakowe, umieszczone w punktach Drugi warunek ciągłości (równe pierwsze pochodne) gwarantuje współliniowość punktów Natomiast trzeci warunek (równe drugie pochodne) odpowiednie umiejscowienie punktów i

thumb|center|500px|Wielomianowa niejednorodna krzywa B-sklejane trzeciego stopnia (zbudowana z pięciu krzywych Béziera). Węzły: 0.0, 0.1, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0

Jak sugeruje rysunek dodatkowe punkty oraz otrzymuje się przez „obcięcie” narożników. Odbywa się to podobnie jak w algorytmie de Casteljau, ale tutaj ma działanie lokalne i współczynniki podziału odcinków zależą od węzłów.

Pierwszym krokiem jest obliczenie długości przedziałów wyznaczanych przez węzły: W przypadku krzywych jednorodnych, tzn. takich, dla których szerokości przedziałów są jednakowe, poniższe wzory znacznie się upraszczają – ułamki są bowiem zastępowane stałymi: lub

Kolejne punkty wyznacza się zgodnie z zależnościami:

Po wyznaczeniu punktów i wyznaczane są punkty

Ostatecznie punkty kontrolne krzywych Béziera 3. stopnia są wyznaczane przez kolejne punkty:

Wzory wyznaczające punkty dla krzywych krańcowych są nieco prostsze, gdyż tylko w jednym punkcie muszą zostać spełnione warunki ciągłości. Natomiast krzywe znajdujące się „w środku” mają dwa punkty połączenia z innymi krzywymi, toteż warunki ciągłości muszą zostać spełnione dla obu tych punktów.

Zobacz też krzywa Béziera NURBS wymierna krzywa Béziera

Linki zewnętrzne Interaktywne aplety Javy – na stronie znajdują się interaktywne aplety Javy rysujące krzywe B-sklejane, w których można przemieszczać zarówno punkty kontrolne, jak i zmieniać wartości węzłów.

Kategoria:Funkcje sklejane Kategoria:Modelowanie (grafika komputerowa)