Kąt równoległości odpowiadający odległości – w geometrii hiperbolicznej kąt między prostopadłą, wyprowadzoną z punktu znajdującego się w odległości od prostej a promieniem równoległymSłowo równoległość należy tu rozumieć w sensie Łobaczewskiego, tzn. chodzi o dwie skrajne proste wśród nieskończenie wielu prostych nie mających wspólnego punktu z prostą daną (S. Kulczycki, Geometria nieeuklidesowa, PWN, Warszawa 1956, s. 70). do prostej wyprowadzonym z punktu Kąt równoległości nazywany jest także kątem Łobaczewskiego i oznaczany jest przez .
Istnieje taka stała zależna od skali odległości w przestrzeni hiperbolicznej, że jeśli jest odległością punktu od prostej to: .
thumb|350px|Dwa kąty Łobaczewskiego wyprowadzone z punktu promienie równoległe do prostej (kolor niebieski) zaznaczono kolorem purpurowym, a odcinek prostopadły – kolorem zielonym. Jeśli jest takim punktem prostej że odcinek jest prostopadły do to możemy napisać:
gdzie punkty i są punktami w nieskończoności. thumb|350px|Kąty Łobaczewskiego w modelu Poincarégo oznaczone purpurową literą α.
Własności Wzór na kąt równoległości można też zapisać następująco:
Wystarczy w tym celu do wzoru
podstawić a następnie skorzystać ze wzoru
oraz licznik i mianownik powstałego ułamka pomnożyć przez
Z punktu można wyprowadzić dwa różne promienie równoległe do prostej Oba te promienie są położone symetrycznie względem prostopadłej do prostej poprowadzonej z punktu i dlatego tworzą z tą prostopadłą ten sam kąt Coxeter, op. cit., s. 313.. Na rysunku mamy dwa przystające trójkąty asymptotyczne prostopadłe: i Z własności trójkątów asymptotycznych prostopadłych wynika, że jest funkcją. Jeśli to Zatem funkcja jest funkcją różnowartościowąCoxeter, op. cit., s. 314–316.. Trójkąt NAM jest trójkątem podwójnie asymptotycznym. Kąt przy wierzchołku jest równy Pozostałe kąty zgodnie z twierdzeniem Bolyai są kątami zerowymi. Математическая энциклопедия, T. 3, op. cit., s. 404..
Zobacz też równoległość w geometrii hiperbolicznej trójkąt asymptotyczny trójkąt podwójnie asymptotyczny trójkąt potrójnie asymptotyczny defekt trójkąta model Poincarégo prosta pochyła proste nadrównoległe punkt w nieskończoności w geometrii hiperbolicznej
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Geometria hiperboliczna