Trójkąt podwójnie asymptotyczny – figura utworzona przez prostą oraz dwa różne promienie wychodzące z danego punktu A leżącego poza tą prostą, równoległe do niej.
Można zdefiniować trójkąt podwójnie asymptotyczny posiłkując się pojęciem punktu w nieskończoności. Jest to figura utworzona przez prostą M∞N∞ oraz dwa różne promienie wychodzące z jednego punktu A leżącego poza tą prostą równoległe do tej prostej, gdzie M∞ i N∞ są punktami w nieskończoności. Tylko jeden z jego kątów jest niezerowy – kąt między dwoma promieniami. Kąt ten jest dwukrotnością kąta równoległości punktu A względem prostej p. Punkt A jest skończonym wierzchołkiem trójkąta podwójnie asymptotycznego. Boki (promienie) AM∞ i AN∞ nazywają się ramionami trójkąta podwójnie asymptotycznego, a prostą M∞N∞ - podstawą trójkąta podwójnie asymptotycznego.
Własności Trójkąt podwójnie asymptotyczny jest figurą symetryczną względem prostej prostopadłej do jego podstawy przechodzącej przez jego skończony wierzchołek. Kąty między tą prostopadłą i każdym z ramion są równe kątowi równoległości wierzchołka skończonego względem podstawy. Długość odcinka prostopadłej łączącego wierzchołek skończony z jego rzutem na podstawę jednoznacznie wyznacza kąt równoległości (czyli z dokładnością do przystawania figur wyznacza trójkąt podwójnie asymptotyczny). Trójkąt podwójnie asymptotyczny jest sumą dwóch przystających trójkątów asymptotycznych prostopadłych. Trójkąt podwójnie asymptotyczny ma pole skończoneCoxeter, op. cit., s. 318. Jest to wniosek ze skończoności pola trójkąta asymptotycznego. Dwa trójkąty podwójnie asymptotyczne są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe polaCoxeter, op. cit., s. 316. Dwa trójkąty podwójnie asymptotyczne są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy w obu wierzchołek niebędący punktem w nieskończoności leży w tej samej odległości od boku, który jest prostą. Dwa trójkąty podwójnie asymptotyczne są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy w obu kąt między promieniami jest taki sam. Podstawa trójkąta podwójnie asymptotycznego jest prostą zagradzającą niezerowy kąt tego trójkąta.
Zastosowania w sztuce
Trójkąty podwójnie asymptotyczne mają zastosowania graficzne. Można układać z nich parkietarze koła (w modelu konforemnym geometrii hiperbolicznej). Dwa z trzech wierzchołków takiego trójkąta leżą na okręgu będącym brzegiem koła. Każdy z trójkątów parkietarzu, zarówno biały, jak i czarny, ma tę własność.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Geometria hiperboliczna