Zbiory Marczewskiego, znane także jako zbiory (s)-Marczewskiego lub krótko (s)-zbiory – podzbiory A prostej mające tę własność, że dla dowolnego zbioru doskonałego istnieje taki zbiór doskonały że albo albo Pojęcie pochodzi od Edward Marczewski (Szpilrajna), z jego pracy z roku 1935E. Marczewski (Szpilrajn), Sur une classe de fonctions de M. Sierpiński et la classe correspondante densembles, Fund. Math. 24 (1935), 17-34. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm24/fm2414.pdf.. Marczewski pokazał, że rodzina (s) wszystkich (s)-zbiorów jest σ-ciałem podzbiorów prostej. Motywacją do wprowadzenia tej rodziny była praca SierpińskiegoW. Sierpiński, Sur un probleme de M. Ruziewicz concernant les superpositions de fonctions jouissant de la propriete de Baire, Fund. Math. 24 (1935), 12-16. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm24/fm2413.pdf., w której rozważane były funkcje

o tej własności, że dla dowolnego zbioru doskonałego istnieje taki zbiór doskonały że obcięcie jest funkcją ciągłą. Marczewski pokazał w cytowanej pracy, że takie funkcje pokrywają się z rodziną funkcji mierzalnych względem σ-ciała (s).

Ze zbiorami (s)-Marczewskiego związane są tzw. zbiory (s0)-Marczewskiego. Rodzinę tę definiuje się jako

gdzie to rodzina wszystkich zbiorów doskonałych na prostej. Rodzina (s0) jest σ-ideał podzbiorów prostej i składa się ze zbiorów należących do dziedzicznie w zawartych, tj.

Uogólnienia Niech X będzie niepustym zbiorem i niech Definiuje się rodziny oraz w sposób następujący:

oraz

Jeśli to rodzina wszystkich zbiorów doskonałych na prostej, to oraz czyli uzyskane rodziny pokrywają się z klasycznymi zbiorami Marczewskiego. Burstin w 1914 roku pokazał, że jeśli to rodzina wszystkich zbiorów doskonałych o mierze dodatniej na prostej, to i to odpowiednio -ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a i -ideał zbiorów miary zero na prostejC. Burstin, Eigenschaften messbarer und nichtmessbarer Mengen, Sitzungsber. Kaiserlichen Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. Abteilung IIa, 123 (1914), 1525-1551.. Jeśli będzie rodziną zbiorów otwartych, to dowodzi się, że składa się ze zbiorów nigdziegęstych, natomiast to rodzina zbiorów o nigdziegęstym brzegu, co pokazuje, że i nie muszą być zawsze, odpowiednio, σ-ciałem i σ-ideałem.

Zobacz też Edward Marczewski zbiór nigdziegęsty

Przypisy

Kategoria:Topologiczne własności zbiorów