Twierdzenie Kaplansky’ego

Twierdzenie Kaplansky’ego, twierdzenie Kaplansky’ego-Cohena – twierdzenie teorii pierścieni, udowodnione przez Irvinga Kaplansky’egoI. Kaplansky, Elementary divisors and modules, Trans. Amer. Math. Soc. 66 (1949), 464–491., mówiące iż dla danego noetherowskiego pierścienia przemiennego R następujące warunki są równoważne każdy ideał pierścienia R jest główny; każdy ideał maksymalny pierścienia R jest główny.

Twierdzenie Kaplansky’ego jest wariantem innego twierdzenia CohenaI.S. Cohen, Commutative rings with restricted minimum condition, Duke Math. J. 17 (1950), 27–42. mówiącego, iż dla danego pierścienia przemiennego R następujące warunki są równoważne: każdy ideał pierścienia R jest skończenie generowany; każdy ideał pierwszy pierścienia R jest skończenie generowany.

Często obydwa twierdzenia bywają nazywane łącznie twierdzeniem Kaplansky’ego-Cohena. Istnieją wersje tego twierdzenia dla pierścieni nieprzemiennychG.O. Michler, Prime right ideals and right noetherian rings, Ring theory (Proc. Conf., Park City, Utah, 1971), Academic Press, New York, 1972, 251-255.T.Y. Lam, M.L. Reyes, A Prime Ideal Principle in commutative algebra. J. Algebra 319 (2008), 3006–3027.M.L. Reyes, A one-sided Prime Ideal Principle for noncommutative rings, J. Algebra Appl. 9 (2010), no. 6, 877-919.M.L. Reyes, Noncommutative Generalizations of Theorems of Cohen and Kaplansky, Algebras and Representation Theory, October 2012, 15, Issue 5, 933-975..

Przypisy

Kaplansky’ego Kategoria:Algebra przemienna