Funkcja Żukowskiego – funkcja wymierna zmiennej zespolonej określona wzorem:
thumb|300px|Przykład transformaty Żukowskiego. Okrąg (powyżej) jest przekształcany na profil Żukowskiego (poniżej) Odwzorowanie Żukowskiego przyporządkowujące punktowi punkt można określić następująco
Zatem jej część rzeczywista jest równa a część urojona jest równa
W obszarze jest to funkcja holomorficzna, bo ma na nim różną od zera pochodną:
Jej zastosowania w hydrodynamice odkrył uczony rosyjski Nikołaj Żukowski. Z ich pomocą skonstruował on profil Żukowskiego, który jest obrazem okręgu stycznego do okręgu jednostkowego w punkcie Funkcję Żukowskiego (często w odniesieniu do przekształcenia konkretnego okręgu na profil) nazywa się także odwzorowaniem Żukowskiego lub transformacją Żukowskiego.
Funkcję tę można rozważać jako funkcję meromorficzną w płaszczyźnie zespolonej domkniętej. Funkcja ta ma dwa bieguny pierwszego rzędu w punktach 0 i .
Funkcja Żukowskiego odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zarówno wnętrze, jak i zewnętrze okręgu jednostkowego na zewnętrze odcinka (osi rzeczywistej). Przy tym okręgi są odwzorowywane na elipsy o ogniskach i półosiach a pary średnic okręgu jednostkowego symetrycznych względem osi współrzędnych, składających się z promieni dla są odwzorowywane na hiperbole o ogniskach i półosiach z wyłączeniem wierzchołków tych hiperbol.
Przykłady profilów Żukowskiego Przekształcenie Żukowskiego okręgu jednostkowego jest przypadkiem szczególnym.
Dlatego część rzeczywista obrazu jest równa a część urojona
Stąd wynika, że okrąg jednostkowy jest przekształcany na przedział osi liczb rzeczywistych.
Obrazy innych okręgów dają szerokie spektrum przekrojów skrzydeł.
Przekształcenie Kármána-Trefftza W celu subtelniejszego wykorzystania, funkcję Żukowskiego można przedstawić w postaci złożenia trzech funkcji, w każdej z których można umieścić pewien parametr. Nazywa się ją uogólnioną funkcją Żukowskiego lub odwzorowaniem Kármána-Trefftza i stanowi ważny instrument modelowania przepływów. Po pominięciu współczynnika funkcja Żukowskiego może być przedstawiona jako złożenie trzech funkcji zespolonych.
gdzie:
czyli
Wynika to z tego, że po dodaniu i odjęciu 2 od funkcji Żukowskiego:
oraz podzieleniu obu wyrażeń przez siebie otrzymuje się:
Rozwiązując to równanie względem uzyskuje się:
thumb|300px|Przykład przekształcenia Kármána-Trefftza. Okrąg powyżej w -płaszczyźnie jest przekształcany na profil Kármána-Trefftza poniżej, w -płaszczyźnie. Użyto parametrów: i Przekształcenie Kármána-Trefftza jest przekształceniem konforemnym ściśle związanym z przekształceniem Żukowskiego. Podczas gdy profil Żukowskiego ma szpiczastą krawędź spływu, profil Kármána-Trefftza – który jest obrazem przekształcenia okręgu z -płaszczyzny w fizycznej -płaszczyzny, analogicznie do definicji profilu Żukowskiego – ma niezerowy kąt w krawędzi spływu, między górną i dolną powierzchnią profilu. Przekształcenie Kármána-Trefftza wymaga zatem dodatkowego parametru: kąta w krawędzi spływu. Przekształcenie to wyraża się wzorem:
gdzie parametr jest nieco mniejszy od 2. Kąt między stycznymi do górnej i dolnej powierzchni profilu w krawędzi spływu jest związany z następująco:
Pochodna potrzebna do obliczenia pola prędkości, jest równa:
Przypisy
Kategoria:Analiza zespolona