Całka Riemanna-Stieltjesa, całka Stieltjesa – jedno z uogólnień całki Riemanna; podał je Thomas Joannes Stieltjes.
Definicja Całkę Riemanna-Stieltjesa funkcji rzeczywistej względem funkcji na przedziale oznacza się symbolem
i definiuje jako granice po wszystkich podziałach
o średnicach zbiegających do zera z następujących sum całkowych
gdzie
Przez granicę sum całkowych rozumie się liczbę (zwaną wartością całki Riemanna-Stieltjesa) taką, że dla każdego istnieje liczba taka, że dla każdego podziału o średnicy i dowolnych zachodzi
Całka Riemanna-Stieltjesa a całka Riemanna Jeśli to wprost z definicji widać, że całka jest całką Riemanna Prawdziwy jest ogólniejszy fakt – jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny, to
W powyższej równości całka po prawej stronie to całka Riemanna.
Całka Riemanna-Stieltjesa a wahanie funkcji Wprost z definicji całki Riemanna-Stieltjesa i wahania funkcji otrzymujemy następującą zależność
Zatem jeśli nie ma wahania skończonego, to całka nie istnieje. Stąd w rozważaniach nad całką Riemanna-Stieltjesa z reguły zakłada się, że ma wahanie skończone. Jeśli ma wahanie skończone, to jest różnicą dwóch funkcji monotonicznych i wówczas
Z tego względu często rozważa się własności całki Riemanna-Stieltjesa względem funkcji monotonicznych by następnie, korzystając z powyższego wzoru, przejść do ogólnych rozważań.
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-16]. Stieltjes integral , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].
Riemanna-Stieltjesa Kategoria:Bernhard Riemann