thumb|400px|Liczby harmoniczne z (linia czerwona) z jej asymptotyczną granicą (linia niebieska) Liczby harmoniczne – sumy odwrotności początkowych liczb naturalnych:
jest więc -krotną odwrotnością średniej harmonicznej tych liczb naturalnych.
Liczby harmoniczne były badane w starożytności i pełnią ważną rolę w wielu działach teorii liczb. Potocznie nazywane są szeregiem harmonicznym, są blisko związane z funkcją ζ Riemanna, a także pojawiają się w różnych wyrażeniach licznych funkcji specjalnych.
Dla dowolnego rzeczywistego istnieje takie naturalne dla którego Wynika to bezpośrednio z rozbieżności szeregu harmonicznego.
Obliczanie Leonhard Euler podał następujący wzór:
Powyższa równość jest oczywista dzięki przekształceniom algebraicznym poniższej tożsamości:
Zastosowanie Liczby harmoniczne pojawiają się w wielu wzorach obliczeniowych, jak na przykład funkcja digamma:
gdzie to stała Eulera. Związek ten jest często stosowany do zdefiniowania przedłużenia liczb harmonicznych poza liczby naturalne
W 2002 roku Jeffrey Lagarias udowodnił, że hipoteza Riemanna może być zastąpiona równoważnym wyrażeniem, że
jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej z ostrą nierównością jeśli oznacza sumę dzielników liczby .
Uogólnienie Uogólnione liczby harmoniczne rzędu z są zdefiniowane jako
Należy zauważyć, że jeśli to istnieje granica przy zmierzającym do nieskończoności.
Inne stosowane zapisy to
Przypadek dla wartości jest przypadkiem specjalnym, który nazywa się liczbą harmoniczną, a indeks jest w zapisie pomijany.
Przypisy
Linki zewnętrzne
Kategoria:Teoria liczb