Nierówność wiążąca argument, nieznaną funkcję i jej pochodną.
Na przykład
gdzie: jest argumentem, – daną funkcją dwóch zmiennych, a niewiadomą funkcją zmiennej Математическая энциклопедия, op. cit., s. 279..
Podstawowym problemem teorii nierówności różniczkowych jest opisanie zbioru ich rozwiązań w zależności od danych wartości początkowych lub wartości granicznych. Problematyka ta jest związana z teorią równań różniczkowych zwyczajnych, teorią równań różniczkowych cząstkowych, teorią równań całkowych i teorią równań różnicowych. Dużą grupę nierówności różniczkowych stanowią nierówności powstałe przez zamianę w znanych i zbadanych równaniach znaku równości znakiem nierówności, co jest równoważne dodaniu do jednej ze stron funkcji dodatniej, bądź ujemnej.
Ważnym problemem jest porównanie rozwiązań nierówności różniczkowej z rozwiązaniem odpowiedniego równania różniczkowego. Na przykład dla dowolnego rozwiązania nierówności różniczkowej
oraz rozwiązania równania różniczkowego
o tych samych warunkach początkowych w dowolnym przedziale istnienia obu rozwiązań zachodzą nierówności dla dla .
Przykłady Jeżeli jest całką równania różniczkowego (gdzie jest funkcją ciągłą w przedziale ) spełniającą warunek początkowy a funkcja różniczkowalna spełnia ten sam warunek początkowy i nierówność różniczkową dla
to dla każdego Rabczuk, op. cit., s. 7.. Twierdzenie Czapłygina-Perrona. Niech funkcje i będą ciągłe w prostokącie domkniętym gdzie
i spełniają nierówność
Jeśli wtedy są odpowiednio całkami równań różniczkowych
przechodzącymi przez punkt określonymi w przedziale i leżącymi między i oraz jeśli spełnia w prostokącie warunek Lipschitza względem y, to dla każdego zachodzi nierówność
Ponadto jeśli w pewnym punkcie jest to dla każdego zachodzi Rabczuk, op. cit., s. 11–12..
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Analiza matematyczna